例析圆锥曲线中的最值问题

刘晓霞

圆锥曲线是解析几何的难点，圆锥曲线中的最值问题又是圆锥曲线中的难点，一直是同学们比较头痛的问题。通过多年的解题积累，本文结合例题，帮同学们分析了五种常用的方法。

一、利用准线求最值

例1：p为椭圆+=1上一动点，A(1,1)为椭圆内一定点，F为椭圆的右焦点，则PA+2PH的最小值为（ ），PA+PF的最大值为（）。略解：1）设P到右准线X==4的距离为PH，因为=e=，所以，2PF=PH,即：PA+2PF=PA+PH，当A,P,H三点共线时PA+2PF的值最小。PA+2PF的最小值为3。2）PA+PF=PA+2a-PF1=4+PA-PF1，只要求PA-PF1的最大值， 当P,F1,A三点共线时PA-PF1取最值。PA-PF1的最大值为AF1=。评：利用准线求最值，其模式为PA+PF，将 PF转化为 P到准线的距离。

二、三角换元求最值

例2：椭圆+=1上的点到直线l:x+y-8=0的最小距离是 （）。略解：设x=2cos?兹,y=sin?兹则椭圆上点p(2cos?兹,sin?兹)到直线l的距离为d==，当cos(?兹+?渍)=-1时d取最小值。评：三角换元在椭圆和圆的相关题目中运用起来比较灵活。（例2也可以用切线求最值）。

三、利用切线（数形结合）求最值

例3：抛物线y=-x2+2上的点到直线l:x+y-8=0的最小距离是（）。提示：设直线l1:x+y+b=0与抛物线y=-x2+2相切， x+y+b=0y=-x+2?圯x-x-b-2=0，△=1+4(b+2)=0?圯b= ，所以，l1:x+y-=0。所求的最小距离为直线l1与l之间的距离d==。评：切线法对于求抛物线上的点到直线的距离或者求椭圆到直线的距离比较适合。

四、利用焦半径求最值

例4：椭圆+=1的左右焦点分别为F1,F2，P为椭圆上的点，K=PFPF，则k的最大值为（），最小值分别为（）。略解：设p(x,y)，根据焦半径公式PF=a+ex,PF=a-ex,可得PFPF=a2-e2x2=4-x2(0?埕x2?埕4)，PFPF的最大值为4，最小值为2. 评：左焦半径PF=a+ex1,右焦半径PF=a-ex1，可以点间距离转化为关于x的函数，利用函数的性质求最值。

五、利用二次函数求最值

例5：p为椭圆+y2=1上一动点，A(m,0)，则PA的最小值为 （ ）。解略，请同学们自己思考。

（张家港职教中心校）