帕斯卡分布展示的教学思想

叶利娟

【摘要】帕斯卡分布是概率统计中常见的典型分布之一，由其分布列特性可用多种方法计算其期望和方差，而每种方法在现代数学教学中都有不同作用.本文对这几种作用分而论之.

【关键词】帕斯卡（Pascal）分布；课程衔接；先修课程；随机变量；数学期望；方差；几何分布

【基金项目】国家自然科学基金（10961020）

【中图分类号】G420

【文献标识码】A

引 言

在高等教育的数学教学中，尤其是高等数学的后续课程中，经常有这样的问题，当教学中用到高等数学或线性代数的知识时很多同学不知其所以然，甚至是没有任何印象；另一方面，很多学生觉得学数学没有用，没有兴趣学，对课程间的衔接关系认识也十分浅.对于这一普遍问题，我认为应当在高等数学和线性代数的后续数学类课程中适当加强加深学生对这些基础知识的理解和应用，这样能使其回忆起和深刻理解这一知识点，并了解它的应用.尽可能多地进行这种展示，会使学生意识到不同数学课程之间的紧密衔接关系.在我所讲授的概率统计课程中就存在这些问题，本文以帕斯卡（Pascal）分布数学期望及方差求法为例，对解决上述问题做一点探究.

一、内容设计

帕斯卡（Pascal）分布是概率论中常见的典型分布，大部分概率统计教材中都会提到这一分布，它描述的是：设事件A在每次试验中发生的概率为p，进行独立重复试验，直到事件A发生r次为止.随机变量ξ表示需要进行的试验总次数，其分布列为P（ξ=k）=Cr-1k-1prqk-r，k=r，r+1，…，其中0

方法一 本部分用求离散型随机变量数学期望的最基本也是最常用的方法求帕斯卡分布的数学期望和方差.由帕斯卡分布的分布列和数学期望定义可知其数学期望可表示为

E（ξ）=∑+∞k=rkCr-1k-1prqk-r=∑+∞k=rk（k-1）！（r-1）！（k-r）！prqk-r

=r∑+∞k=rk！r！（k-r）！prqk-r=rp∑+∞k=rCrkpr+1qk-r.В1）

令l=k+1，上式可转化为

rp∑+∞l=r+1Crl-1pr+1ql-1-r.

上式中的和仍是帕斯卡分布列的和，由分布列的规范性可知上式值为rp，即E（ξ）=rp.

由公式D（ξ）=E（ξ2）-E（ξ）2求方差，首先

E（ξ2）=∑+∞k=rk2Cr-1k-1prqk-r=∑+∞k=r[（k+1）-1]kCr-1k-1prqk-r=r∑+∞k=r（k+1）k（k-1）！（r-1）！（k-r）！prqk-r-∑+∞k=rkCr-1k-1prqk-r

=r∑+∞k=r（k+1）k！r！（k-r）！prqk-r-E（ξ）

=rp∑+∞k=r（k+1）Crkpr+1qk-r-rpl=k+1rp∑+∞l=r+1lCrl-1pr+1ql-1-r-rp=rp∑+∞l=r+1lCrl-1pr+1ql-1-r-rp=rpr+1p-rp.В2）

因此

D（ξ）=rpr+1p-rp-rp2=rqp2.

高等教育越来越普及，随之而来的是学生的数学素养远不如从前，尤其是民族类院校的学生.我们在教学过程中需要解释很多中学的知识点，但是学生的运算技巧及耐心程度仍然得不到有效训练和提高，而这种方法需要学生掌握一定技巧，并且运算较为繁琐，对有兴趣的学生可以鼓励他们尝试这种方法.

方法二 利用幂级数的性质求期望和方差.

引理 当|x|<1时，等式1（1-x）m+1=∑+∞k=mCmkxk-m成立，其中m为非负整数.

证明 利用幂级数在收敛区间内可逐项求导的性质，对函数11-x及其幂级数∑+∞k=0xk逐项求m阶导数，有

m！（1-x）m+1=∑+∞k=mk（k-1）·…·（k-m+1）xk-m=m！∑+∞k=mCmkxk-m.

两边同除以m！，即得1（1-x）m+1=∑+∞k=mCmkxk-m.еけ.

由方法一中的（1）式，数学期望可表示为

E（ξ）=r∑+∞k=rk！r！（k-r）！prqk-r=rpr∑+∞k=rCrkqk-r.

根据引理，令x=q，m=r，有∑+∞k=rCrkqk-r=1（1-q）r+1=1pr+1，代入上式，得

E（ξ）=rpr1pr+1=rp.

由方法一中的（2）式

E（ξ2）=r∑+∞k=r（k+1）k！r！（k-r）！prqk-r-E（ξ）=r（r+1）pr∑+∞k=r（k+1）！（r+1）！（k-r）！qk-r-E（ξ）=r（r+1）pr∑+∞k=rCr+1k+1qk-r-E（ξ）.

与求数学期望类似，令x=q，m=r+1，把∑+∞k=rCr+1k+1qk-r=1（1-q）r+1+1=1pr+2代入上式，

E（ξ2）=r（r+1）pr1pr+2-E（ξ）=r（r+1）p2-rp.

同方法一即可求出方差.

在概率论的教学中，我比较明显地意识到虽然作为高等数学的后续课程，但用到的高等数学知识点还是比较有限，尤其是稍深的知识点，导致高等数学与概率统计联系不够紧密.学生对于无穷级数这部分内容总是较为陌生，方法二用到收敛级数及其和函数性质，一方面可以帮助学生回忆级数这一部分内容，另一方面也使学生学一点收敛级数的应用.

方法三 将帕斯卡分布分解为若干几何分布之和.

以随机变量ξi表示事件A从第i-1次发生后算起到第i次发生所需进行的试验次数，i=1，2，…，r，则ξ=ξ1+ξ2+…+ξr.易知ξi都服从参数为p的几何分布，所以E（ξi）=1p，D（ξi）=qp2，i=1，2，…r，从而E（ξ）=E（ξ1）+E（ξ2）+…+E（ξr）=rp，D（ξ）=D（ξ1）+D（ξ2）+…+D（ξr）=rqp2.

方法三利用数学期望及方差性质：随机变量线性函数的数学期望等于相应随机变量数学期望的线性函数，独立随机变量和的方差等于各个随机变量方差的和，把随机变量分解为若干几何分布随机变量的和，根据几何分布的数学期望和方差计算帕斯卡分布的数学期望和方差.从以上计算过程可以看出这种方法逻辑性强，思路清晰，解题过程简洁明了，说明了数学期望和方差的相关性质在解决问题中的简化作用.

二、优点分析

大学数学的教学过程中，有类似作用的实例、问题有很多，我们可以适当选取部分展示给学生.在展示过程中，我通常采取分组的方式，比如本例，把学生分为三组，一组学生用事先规定的方法解题，每组派代表在黑板上解题，允许本组其他学生做补充.首先，这种教学方式促进了本课程与先修课程的衔接，使学生稳步过渡.概率统计的先修课程有初等数学、高等数学等，通过这种方式有效地促进了与先修课程的衔接，使学生切实把先修课程中相应知识熟练牢固掌握，并顺利过渡到概率统计本部分的学习中.其次，促进探究教学的实施，提高学生学习兴趣和积极性.在给出这些方法之前，先对学生进行分组引导，让学生充分地思考，自己先找方法.最后，鼓励学生走上讲台，为学生个性发展搭建平台，激发学生学习兴趣，培养学生的自信心和主动精神.课堂上给出如此大的信息量，在传统教学中是不可能实现的，但是现代教学给了我们实现它的工具，多媒体课件可以很方便地实现.

【参考文献】

[1] 缪铨生. 概率与统计[M]. 上海：华东师范大学出版社，2007.

[2] 沈恒范. 概率论与数理统计教程[M]. 北京：高等教育出版社（第五版），2011.

[3] 高尚华. 数学分析下册[M]. 高等教育出版社，2001.

[4] 符晓芳. 离散型随机变量的数学期望分解求法[J]. 琼州大学学报，2005（5）：19-20.

[5] 宁连华. 数学探究教学设计研究[J]. 数学教育学报，2006，15（4）：39-41.