技巧在中学数学中的应用

李丰

人们运用所掌握的知识去完成某种实际任务的能力，叫技能.经过反复练习，技能达到熟练近乎自动化的程度就是技巧.为了加强基础，培养能力，提高学习兴趣，保证学生解题简洁、明了、快速，拓宽学生的思维，教师在教育教学过程中重视数学解题技巧的积累与培养是必不可少的.现将本人在教育教学中常用的一些解题技巧介绍如下，与大家共勉.

1.巧构模型

通过构造模型来解决实际问题的方法称为数学模型法，简称MM方法，是解数学题的一种经典方法，它是从典型事迹中提炼出来，解决相关问题的一种带有指导意义的方法.笛卡尔说：“我解决每一道难题，都使它变成一个规范.”应用MM方法的基本步骤可用框图表示如下：

具体实例：

例 在足球比赛中，甲方边锋从乙方所守球门附近带球过人沿直线向前推进，试问：边锋在何处射门命中率最大？

分析 人高、球门高、球员射门力度等因素可不予考虑，设球门两立柱分别为A，B两点，边锋为C，则实际是求：当C在何处时，∠ACB最大？

解 把角旗处当坐标原点，边线与底线分别作为横轴、纵轴，设C到球门AB的距离CD=x，OA=a，OB=b，（a>b>0，a，b为定值），从而有点（0，a），（0，b），（x，0），于是问题就变成了x取何值时，∠ACB最大的问题了.

模型 设∠ACB=α，∠BCO=β，∠ACO=α+β，显然：0<α<π[]2.

∵tanα=tan（α+β-β）=tan（α+β）-tanβ[]1+tan（α+β）tanβ=a[]x-b[]x[]1+ab[]x2=a-b[]x+ab[]x≤a-b[]2ab ，

当且仅当x=ab[]x即x=ab时，tanα最大，由于在0<α<π[]2上tanα为单调增函数

∴当x=ab时，∠ACB=α取得最大值为arctana-b[]2ab，即说明边锋距球门线ab时，射门命中率最大.

2.巧用公式

公式是用数学语言对数学概念的一种诠释，它既是解题的基础，又是解题的一把钥匙，抓住公式解题，是不可忽视的一种技巧.如复数的模长公式：||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，在求解一些难度较大的复数模长最值问题中，如果运用恰当，则功效独特.

例 已知z∈C，且满足2|z-3-3i|=|z|，求|z|的最值.

解 由公式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|得：|z|=2|z-3-3i|≥2|z|-|3+3i=|2||z|-32|，

当|z|≥32时，|z|≥2|z|-62，∴32≤|z|≤62.

当|z|<32时，|z|≥62-2|z|，∴22≤|z|<32.

∴22≤|z|≤62，∴|z|最大=62，|z|最小=22.

3.巧作代换

代换是我们在解题中经常应用的一种方法，如三角代换、倒数代换、万能代换等，但代换是否巧妙、得当，却是我们解题的关键.

例 已知|a|≤1，|b|≤1，求证：ab±（1-a2）（1-b2）≤1.

|ab±（1-a2）（1-b2）|如果设a=sinα，b=cosβ，则=sinσcosβ±（1-sin2α）（1-cos2β）=|sinαcosβ±cosαsinβ|=sin（α+β）≤1.

显然得证.

4.巧用比例

在解题过程中，灵活应用比例关系，往往可使解题既快速，又准确，取得事半功倍的效果.

例 （1）解方程组x+y+z=27，

（2）某工厂食堂用圆台形缸盛满食油，已知此缸上、下底半径分别为20 cm、10 cm，13天后，油高度降为原来的3[]4，若每天用油量相等，剩余的油还可以用多少天？

解 如右图，将圆台补成圆锥，记从下至上三部分体积分别为V1，V2，V3.

设V1=43a=64a，则V2=73a-43a=279a，V3=83a-73a=169a.

设剩余的油还可用x天，由题设得：

13∶x=169a∶279a，∴x=21.

5.巧用“0”和“1”

“0”和“1”在数学中具有特殊地位，在解题中如能细心观察，灵活应用，将会使许多问题迎刃而解.

例 已知x2+y2=1，

z2+w2=1，

xz+yw=0，求xy+zw的值.

解 将已知条件中的x2+y2=1与z2+w2=1代入所求解析式，则

xy+zw=（z2+w2）xy+（x2+y2）zw=xyz2+xyw2+zwx2+zwy2=xz（yz+wx）+yw（xw+zy）=（yz+wx）（xz+yw）=0.

6.巧变形，凑定值

式的等价变形也是我们解题过程中的一种常用方法，在解题中用好变形，往往会使我们难以解决的问题豁然开朗，同时也可不断提高学生的建构能力和解决问题的能力.

例 已知正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的最小值.

解 条件可化为：ab-a-b=3，即（a-1）（b-1）=4.

因a，b为正数，易知a>1，b>1.

∴ab=a+b+3=（a-1）+（b-1）+5≥2（a-1）（b-1）+5=9.

7.巧用数形结合

数形结合方法是数学学习中的一种重要方法，它是代数与解析几何的完美结合，它往往能使复杂的数学题通过图像使题目的结果一目了然.

例 求y=（x-1）2+（y+2）2+x2+y2+2x+4y+5的最小值.

解 这是典型的点与点的距离，将式子变形成

y=（x-1）2+（y+2）2+（x+1）2+（y+2）2，题目就转化成了求P（x，y）与A（1，-2），B（-1，-2）两点的距离和的最小值.∴y最小=|AB|=2.

此外，巧用韦达定理、巧用参数、巧设、巧算、巧化等都是我们在数学学习中经常遇到的一些方法，在此不一一举例，希望我们在学习过程中能不断总结，不断积累，细心观察，透彻分析问题，在解题中做到思维的定式与变异辩证统一，将我们的数学最后达到学以致用.

【参考文献】

[1]章士藻.中学数学教育学.

[2]林明成.立几中的七种常见解题技巧.高中数理化，2003（4）.

[3]罗建中.用不等式求最值时怎样构造定值.高中数理化，2006（3）.