对一道函数题数形结合解答的诊断

严菊芳

用数形结合法解题简单、直观，往往使我们能迅速得到问题的正确结论，而用此法的关键是充分利用条件，画出与之匹配的图形，否则容易造成错解.下面我们来“诊断”一道高考改编题的解答.

已知函数f（x）=ax +bx+c（a>0），α，β是方程f（x）-x=0的两个实数根，且满足0<α<β< .若x∈（0，α），则下列各式中①xf（x），④α>f（x）正确的是.

分析题目，我们自然想到用数形结合的方法去解决：将α，β视为y=f（x）与y=x两函数图像的交点横坐标.由于β>α>0，可画出图像：当x∈（0，α）时，由图知f（x）>x，f（x）>α，则选①②.

结论看上去好像一目了然，但是用比较法来考虑时却出现了与②截然相反的结果.

由于α，β是f（x）-x=0的两实根，f（x）-x=a（x-α）（x-β），则f（x）=a（x-β）（x-β）+x.

于是f（x）-α=a（x-α）（x-β）+x-α=（x-α）（ax-aβ+1）.

由于0<α<β< ，x∈（0，α），则aβ<1，x<α，得f（x）<α.显然逻辑推导无懈可击，那么数形结合法问题出在哪儿？仔细推敲条件，不难发现0<α<β< 这一条件未充分利用，那么它对图形会产生限制吗？让我们来研究对称轴与α的大小关系.

由韦达定理知：α+β= ，αβ= ，于是b=1-aα-aβ，c=aαβ

比较对称轴- 与α：- -α=- =- <0

所以- <α，且f（α）-c=α-aαβ=α（1-aβ）>0，即f（α）=α>c，再作出图像得，当x∈（0，α）时，α>f（x）.

=- =- <0，即- < ，然后正确画出图像得到结果.

由此可知，某些数学问题的条件内涵丰富，我们不能根据陈旧的解题经验想当然地画出图形，而需要对条件深入探索，抓住“弱信息”，合理联系相关知识去剖析才能正确求解.