错解的剖析在数学教学中的作用

傅子川

摘要： 在数学教学中，学生解题中出现各种各样的错误一直是教师最头痛的问题，而这个问题却始终贯穿整个教学过程，怎么才能减少或避免学生在数学学习中的解题错误呢？这是一个令广大一线教师和学者所关注的实际问题，也是学生渴望从老师那里得到明确答案的问题.本文分析错解的剖析在数学教学中的作用.

关键词： 数学教学错解剖析错解原因作用

在数学教学中，经常会存在这种现象，课堂上教师讲得头头是道，学生也听得明明白白，但是做起题目却错误百出，究其原因，忽视错解的作用是其中重要的一个.虽然谁也不希望在解题中出错，但谁也不能幸免在解题中出错．学生在解题中出错是学习活动的必然现象．教师对错解的处理是解题教学的正常业务，并且对错解剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学，在课堂上及时针对错解进行剖析对提高教学质量有明显的效果.

一、分析错解原因能加深学生对概念和方法的理解

一节新课后，总有部分学生满足于教师讲授的概念的表面理解，而在利用这些概念解题时往往会产生错误.例如：在上完“空间直线与平面”后，我曾布置这样一道习题：求证：两条平行线和同一平面所成的角相等.对这道并不难的习题，绝大部分的学生将用文字叙述的命题翻译成数学符号表示时做错了.他们的表述是：已知：a∥b，a∩平面α=A，b∩平面α=B，a，b和平面α所成的角分别是∠1和∠2，求证：∠1=∠2.

在习题讲评时指出这种做法是将“空间直线和平面关系”的外延缩小为直线和平面相交，在证明时又进一步将线面关系缩小为线面斜交.而实际上这一概念的外延还有：线在面内，线面平行.原命题两条平行线中的任何一条都可以有上面的三种位置中的任何一种.讲评后引导学生讨论，而后学生正确地将原命题用数学符号表述如下：已知：在平面α，直线a，b，且a∥b，求证：直线a，b和平面α所成的角相等.

然后分直线在平面内，直线和平面平行、垂直、斜交四种情况分别给予证明.

通过对这个错解原因的分析，学生深刻理解了“空间直线和平面位置关系”的概念，并认识到了真正理解数学概念的必要性.

中学数学有些重要的方法在数学中占有一定的地位.如数学归纳法不仅是中学数学中的重要工具，而且在高等数学中也有相当重要的位置.虽然对这部分基础知识学生自己不觉难以掌握，但实际上由于对数学归纳法的原理理解不深，再加上教材中的例题和习题的影响，多数学生不能正确、灵活应用这种方法.

如不少学生应用数学归纳法时认为n取初值n时，等式左边只有n项，而不是依左式的构造规律确定n取初值n时左边的项，导致证题错误。

例1：求证：++…＞1（n∈N）

当时，学生常误认为左边仅一项，事实上，左边是++.

再如n从k变到k+1时，学生受到例题的影响，认为左边仅增加一项，以致有些命题无法证明或证明错误.以上例题来说n从k变到k+1时，左边的式子增加了三项++，前面少了一项.

通过这道题让学生头脑中的错误东西暴露，并共同解剖之，给学生留下了深刻的印象.不仅明确运用数学归纳法的两个步骤都应严格依照式子的组成规律确定左边的项，而且认识到应用任何数学知识、方法前一定要先做缜密的分析，不可轻易做判断.

二、挖掘错解根源使学生能正确应用公式、定理

在教学中常可看到有些学生不重视定理、公式的使用范围和条件，而仅凭死记硬背定理的结论和公式，乱套硬用，从而造成错解.这时，若能准确地选择错解进行剖析，挖掘其病根，则必能使学生警觉，深感只有明确定理、公式的使用条件和范围，才能正确应用公式和定理.

例如，在教完“等比数列前n项和公式”后的习题中有这样一道题目：设等比数列{an}前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C，求证：A+B=A（B+C）.

学生会给出如下错解：

证明：设首项为a，公比为q，则

学生这种貌似简明的解法是错误的，学生在讨论后才认识到忽略了等比数列前n项和公式中的限制条件：q≠1时.上述证明仅说明了q≠1时，等式A+B=A（B+C）成立，而q=1时则应另行证明.

三、澄清错解原因能有效防止知识和经验的负迁移

由于有些学生对新旧知识、相识知识掌握不好，不明确它们的异同；有些学生对所积累的解题经验适用范围模糊不清，从而造成分析问题和解题时知识和经验的负迁移，造成错解.要解决这类问题除了在教授相应知识时不仅要指出其联系更要讲清应用条件和范围的区别外，还要引导学生针对错解进行剖析，澄清错解的原因，才能有效防止知识和经验的负迁移.

例如：求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y=2x仅有一个交点.

错误解法：设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1，则它与抛物线的交点为y=kx+1y=2x，消去y得（kx+1）-2x=0.整理得kx+（2k-2）x+1=0.

∵直线与抛物线仅有一个交点，∴△=0，解得k=.∴所求直线为y=x+1.

错误分析：此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为y=kx+1时，没有考虑k=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的.

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况.原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透.

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k≠0，而上述解法没有考虑，表现出思维不严密.

正确解法：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点（0，1），所以x=0，即y轴，它正好与抛物线y=2x相切.

②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行x轴，它正好与抛物线y=2x只有一个交点.

③一般地，设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1（k≠0），则y=kx+1y=2x，

∴kx+（2k-2）x+1=0.令△=0，解得k=，∴所求直线为y=x+1.

四、通过对错解的剖析有助于培养学生良好的思维能力

培养学生的思维能力是中学数学教学的一个重要任务.而适时适量地剖析错解，是培养学生思维的主动性、灵活性、开阔性、严密性的重要途径.

如在直角三角形ABC中，a=3，b=4，边长c为多少？许多学生会迅速回答c=5.经反问：这个答案正确吗？学生重新审题，联想后发现答案不完整，应讨论B是直角和C是直角两种情况.然后又启发学生探讨错误根源：认为C当然是直角，将思路局限于“勾三股四弦五”的结论中，未能认真审题，严密地对问题进行分析、判断.

又如：已知数列{an}的通项公式是a=45-3n，问该数列前多少项和最大？最大值为多少？

板书如下错解：a-a=（45-3n）-［45-3（n-1）］=-3

所以数列{an}是公差d=-3的等差数列，且该等差数列是递减数列.

设前n项和最大，则从第n+1项起都是负数，从而

45-3n≥045-3（n+1）＜0

解得14＜n≤15

n=15，即数列{an}前15项和最大，最大值为S=15×42+×（-3）=315.

然后让学生讨论上述解法是否正确，若不正确则要求找出原因.学生在教师引导下剖析该解题的错误在于“从第n+1项起都是负数”是片面的，而应是“从第n+1项起都是负数或零”，从而得出：45-3n≥045-3（n+1）≤0

解得14≤n≤15

所以n=14或n=15，即数列{a}的前14项或前15项和最大，

最大值为S=S=315.

错解的根源是忽视了a=45-3×15=0，也忽视了零对和的大小没有影响等隐含的条件.通过对此题的剖析，学生认识到解决问题是应全面审查问题，挖掘出其隐含的条件.

总之，错解并非是没有价值的，而是学生的错解是一种重要的教学资源，问题在于我们怎样处理它.若我们能对典型的错解认真加以剖析，则不仅能消除学生头脑中不正确的东西，而且能有效地巩固正确的知识，提高学生的认识水平和解决问题的能力.

错解不是作为失误的指标，而是作为每个学习过程所伴随的现象.如果教师对错误的原因进行分析，就能更好地理解学生头脑中的想法.对学生而言，如果他能在教师和同学的支持下，按照自己的想法解释自己的错误，而不是别人直接给他一个“正确答案”，他就能更加有效地整理自己的观点，检查自己思维过程的合理性，同时也使其他同学和教师更加清晰地理解他的真实想法，弄清“病”因.数学是每个人自己必须重新建构的东西，不是从外部灌输进去的客观知识的完整架构.教师的任务不是仅仅传播科学的数学知识和展示正确的思想认识，更重要的是营造一种宽松的环境，促进学生对已有的个性化理解进行重新建构，对“错解”进行重新的认识.在改变错误的过程中，面对自己的错误解答，他们也会羞涩，心理上也有压力，作为教学组织者、引导者和合作者，教师有必要教会学生积极地面对这样的挫折，主动地克服错误，快乐地获得新知并发展能力.

参考文献：

［1］贾金平.数学课堂教学中学生错解的病因分析与对策［J］.教学与管理，2006，（7）.

［2］学科网（WWW.ZXXK.COM）.高中数学易错题举例解析.学海泛舟系列资料，2009，8.