谈等差等比数列性质的推广应用

闫运和，罗洪艳

摘要：学生在学习数列时，常遇到与等差等比有关而课本中又无介绍的内容。学生在解题时，虽然也能解出来，但比较繁琐，介绍几种计算方法。

关键词：学习数列计算方法；等差数列；等比数列

中图分类号：G642.0？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0184-02

学生在学习数列时，常遇到与等差等比有关而课本中又无介绍的内容。学生在解题时，虽然也能解出来，但比较繁琐，下面介绍几种计算方法。

定理1.等差数列{an}，a1，a2，…，an中，有as，as+1，as+2，an，…仍成等差数列，且数列中的任意一项at=as+（t-s）d。

证明：∵右=a1+（s-1）d+（t-s）d

=a1+（t-1）d

=at

∴at=（t-s）d+as

例1：等差数列{an}中，已知：a3=13，d=4，求a10.

解：a10=a3+（10-3）d=13+7×4=41

对比一般的求解思路避免了求a1，并且，当t比s小时，此公式仍然成立。

定理2：等差数列{an}，a1，a2，…an中，有as，a2s，a3s，…，ams（s为任意给定的正数），也成等差数列，且公差为sd。即等差数列中相同间隔的项组成的数列仍是等差数列。

证明：∵ams-a（m-1）s=a1+（ms-1）d-{a1+[（m-1）s-1]d}

=sd=常数

∴{ams}成等差数列

推论：等差数列{an}，a1，a2，…an中，有as，as+t，as+2t，…，as+mt仍成等差数列，且公差为td。

即：等差数列中，“下标成等差数列的项仍成等差数列”。

证明略。

例2：在等差数列中，已知a3=3，a10=20，求a24。

解：∵3，7，10，17，24成等差数列。

∴a3，a10，a17，a24也成等差数列。

且公差为d=a10-a3=20-3=17

∴a24=a3+（4-1）d

=3+3×17

=54

解题方法简捷明了。

定理3：等差数列{an}，若正整数p+q=s+l=2t，则aP+aq=as+al=2at

证明：∵aP+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d

同理：as+al=2a1+（s+l-2）d

2al=2[a1+（t-1）d]

=2al+（2t-2）d

=2al+（p+q-2）d

=2al+（s+l-2）d

∴aP+aq=as+a1=2at

例3：在等差数列中，已知a12+a13+a14=93，

a18+a19+a20=107，

求a15+a16+a17。

解：∵a12+a13+a14+a18+a19+a20=93+107=200

且a12+a13+a14+a18+a19+a20

=（a12+a20）+（a13+a19）+（a14+a18）

=2（a15+a17）+2a16

∴a15+a16+a17

=■（a12+a13+a14+a18+a19+a20）

=■×200

=100

定理4：一般地等差数列{an}，a1，a2，…，an中，有（1）ma1，ma2，…，man，（2）a1+k，a2+k，…，an+k，（3）ma1+k，ma2+k，man+k均成等差数列。即等差数列同乘以一个常数或同加上一个常数或同乘以一个常数再加上一个常数仍成等差数列。

例4：已知■，■，■成等差数列。

求：■，■，■成等差数列。

证：∵■，■，■成等差数列

∴■，■，■成等差数列

即：■+1，■+1，■+1成等差数列

∴■，■，■也成等差数列

∴■-1，■-1，■-1也成等差数列

即，■，■，■，成等差数列

原题得证。

定理5：等比数列{an}中，am，am+1，am+2，…，an成等比数列，且an=amqn-m

证明显然。

例5：已知{an}为等比数列，a3=■，a4=■，求a8

解：∵a3，a4，…，a8仍成等比数列且q=■=■，

∴a8=a3q8-3×■（■）5=■

定理6：等比数列{an}中，有at，a2t，…，amt成等比数列，公比为qt。

证明：{an}为等比数列，即■=q

∴■=■=qt

∴{amt}为等比数列.

即“等比数列间隔相同的项成等比数列”

推论：等比数列an中，有as+t，as+2t，…，as+mt成等比数列.即“等比数列中下标成等差数列的项仍成等比数列”

例6：在等比数列中，已知a4=3，a8=48，求a16

解：∵4，8，12，16成等差数列.

∴a4，a8，a12，a16成等比数列.

且q=■=■=16

∴a16=a4q4-l=3×163=12288

定理7：等比数列{an}中，若s+l=m+n=2t（m，n，s，l，t，e∈N），有as，al=an，am=at2

证明∵asal=a1qs-1a1ql-1=a12qs+l-2

同理：aman=a12qm+n-2

at2=（alqt-1）2=a12q2t-2=a12qs+l-2=a12qm+n-2

∴asal=aman=at2

例7：在等比数列中，已知a3a9=64

求a6

解：∵3+9=2×6

∴a62=a3a9=64

∴a6=±8

定理8：等比数列{an}中，有{kan}（k≠0）

{anm}也成等比数列。

例8：已知数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，求a12+a22+…+a102

解：∵{an}为等比数列

∴{an2}也等比数列，且公比q1=■=q2=9

∴S10=■=■=1743392200

参考文献：

[1]数学（五年制高等职业教育文化基础课教学用书）[M].苏州：苏州大学出版社.

[2]数学（全日制普通高级中学教科书）[M].北京：人民教育出版社.

[3]数学（全日制普通高级中学教师教学用书）[M].北京：人民教育出版社.