不完全补货的模糊库存模型的研究

［摘要］ 本文提出了一种在不完全补货情况下的模糊库存模型，将缺货成本、销售损失率、利润损失和信用损失等因素引入该模型，采用三角形模糊数来描述销售损失率。研究结果表明，订货量、再订货点可以通过迭代方式获取最佳值。

［关键词］ 模糊库存； 三角形模糊数； 补货率

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 07. 031

［中图分类号］F274［文献标识码］A［文章编号］1673 - 0194（2012）07- 0064- 02

１引言

库存水平和库存周转速度直接影响物流成本和企业的经济效益。在研究考虑缺货时延期交货的多模糊参数的库存模型中，假设缺货时的需求在下一次订货到达后可以完全补货。在现实市场中，当缺货发生后，有一部分客户愿意继续等待，但是其他一部分客户因无法忍受缺货导致的损失，不愿意花费时间等待，转而去寻找其他供货渠道得到订货，导致企业销售受到损失，主要表现为：

（１） 失销。当出现缺货时，如果客户选择取消其购买要求，而转向其他供应商，就产生了失销。失销成本就是本应获得的这次销售的利润，也可能包括缺货对未来销售造成的消极影响。

（２） 失去客户。当客户永远转向另一个供应商时，企业就失去了客户。如果失去了客户，企业就失去了未来一系列收入，这种缺货造成的损失难以估计，需要用管理科学的技术以及市场营销的研究方法来分析和计算。除了利润损失，还有供应商因缺货而无法及时满足客户的需求，导致信誉的损失。信誉损失很难度量，在库存决策中常常被忽略，但它对未来销售及企业经营活动非常重要。因此有必要将补货率和信用丧失这两个因素引入库存模型中。

为了描述生产过程中的不确定性，Ｋａｃｐｒｙｚｋ & Ｓｔａｎｉｅｗｓｋｉ［１］和Ｐａｒｋ［２］将模糊数学引入库存模型中，Ｐａｒｋ运用了模糊集的概念，在扩展原则下将库存成本作为模糊数对经济订货批量模型进行了求解。Ｖｏｊｏｓｅｖｉｃ等［３］研究了库存总成本中订货成本为梯形模糊数时不考虑缺货的ＥＯＱ模型，采用重心法解模糊得到了模糊总成本。Ｃｈｅｎ和Ｗａｎｇ［４］假设订货成本、库存成本和缺货成本均为梯形模糊数，运用函数原则得到了考虑缺货时的ＥＯＱ模型模糊总成本。Ｃｈａｎｇ［５］应用三角形模糊数、扩展原则和重心法研究了生产库存模型，得到了模糊总成本和经济生产量。Ｖｉｊａｙａｎ和Ｋｕｍａｒａｎ［６］虽然将补货率引入库存问题中，但是只研究了各个成本要素在模糊数情况下对库存总成本的影响。傅玉颖和潘晓弘［７］研究了允许缺货情况下多模糊参数库存问题。张群和李群霞［８］研究了当订货量分别为常数和梯形模糊数情况下的允许缺货的多模糊参数库存问题。张群和李群霞［９］将缺陷率引入到多模糊参数库存模型中，提出了一种考虑缺陷率情况下的可完全补货库存模型。

从实际环境中发现，许多产品比如衣服、鞋和蔬菜等，销售损失率（销售损失率 ＝ １ － 补货率）会受时间、品牌、客户喜好等因素影响。换句话说，销售损失率由于受这些因素影响可能会发生变化，因此很难用一个固定的常数来很好地描述它。本文将采用模糊数学理论，对销售损失率模糊化成三角形模糊数，在此基础上，研究不完全补货的库存模型，将销售损失率定位在原固定销售损失率的附近会更加符合实际情况。日本ＪＩＴ（Ｊｕｓｔ－Ｉｎ－Ｔｉｍｅ）生产方式获得的成功经验显示，可以通过不同的方法来降低提前期，从而进一步提高经济效益。因此本文同时考虑提前期这个因素对库存模型的影响。本文在已有的工作［８－９］基础上，将补货率、利润损失和信用损失等各种因素纳入库存模型中，研究允许部分补货的库存管理问题。本文采用模糊数学理论，将这些因素模糊化成三角形模糊数，在此基础上，研究各成本要素，特别补货率对最优订货量、再订货点和库存总成本的影响。

２可部分补货库存模型

库存模型中各个变量及其含义如表１所示。

为了研究连续盘点下的模糊库存模型，假设补货率β和各成本要素Ｃｏ、Ｃｈ、Ｃｓ、Ｃπ都为模糊数的情况下，年库存总成本为：

对于式（５），最优订货量Ｑ*和再订货点ｒ*没有显式解析解，可通过多次迭代方式获取这两个最优值。

３数值分析

设Ｄ ＝ ５０ ０００单位/年，Ｃｏ ＝ １００美元／周期，Ｃｈ ＝ ６．０美元／（单位·年），Ｃｓ ＝ １０美元／周期，Ｃπ ＝ ３０美元／单位。设提前期需求服从参数为（λ１，λ２）的γ分布，因此损失函数可表示为：

Ｂ（ｒ） ＝ θ（１ － Ｇ（ｒ；λ１ ＋ １，λ２）） － ｒ（１ － Ｇ（ｒ；λ１，λ２）） （６）

其中： Ｇ（ｒ；λ１，λ２）为在ｒ点的累积密度函数；期望提前期需求θ ＝ λ１ ／ λ２。

设λ１ ＝ ５０，λ２ ＝ ０．５，对销售损失率设定不同模糊数，将这些数值代入不完全订货的模糊库存模型中，通过迭代方式可得如表２所示的最优订货量值、最佳再订货点和最小年库存总成本值。

４结论

本文在以往研究的基础上，提出了基于模糊集的可部分补货的库存模型，具体工作如下：

（１） 为了更好地描述实际库存环境的不确定性，假设各生产要素和补货率为模糊数情况下，建立了以库存总成本为目标函数的模糊库存模型。对目标函数采用求导方法可直接得到订货量和再订货点之间的关系，最佳订货量和再订货点需要通过迭代方法才能获取。

（２） 假设提前期需求服从γ分布，对本文提出的模糊库存模型进行了数值分析。将补货率和各成本要素模糊化，更能反映实际库存环境的不确定性。补货率会影响订货量、再订货点和库存总成本值。

主要参考文献

［１］ Ｋａｃｐｒｙｚｋ Ｊ， Ｓｔａｎｉｅｗｓｋｉ Ｐ． Ｌｏｎｇ－Ｔｅｒｍ Ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ Ｐｏｌｉｃｙ－Ｍａｋｉｎｇ ｔｈｒｏｕｇｈ Ｆｕｚｚｙ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ－Ｍａｋｉｎｇ Ｍｏｄｅｌｓ ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Sｙｓｔｅｍｓ，１９８２，８（２）： １１７－１３２．

［２］ Ｐａｒｋ Ｋ Ｓ． Ｆｕｚｚｙ－Ｓｅｔ Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｏｒｄｅｒ Ｑｕａｎｔｉｔｙ ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ， Ｍａｎ ａｎｄ Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ， １９８７， １７（６）： １０８２－１０８４．

［３］ Ｖuｊｏｓｅｖｉｃ Ｍ， Ｐｅｔｒｏｖｉｃ Ｄ， Ｐｅtｒｏｖｉｃ Ｒ． ＥＯＱ Ｆｏｒｍｕｌａ ｗｈｅｎ Ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ Ｃｏｓｔ ｉｓ Ｆｕｚｚｙ ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ， １９９６，４５（１－３）： ４９９－５０４．

［４］ Ｃｈｅｎ Ｓ Ｈ， Ｗａｎｇ Ｃ Ｃ， Ｒａｍｅｒ Ａ． Ｂａｃｋｏｒｄｅｒ Ｆｕｚｚｙ Ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ Ｍｏｄｅｌ ｕｎｄｅｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９９６，９５（１／２）：７１－７９．

［５］ Ｃｈａｎｇ Ｓ Ｃ． Ｆｕｚｚｙ Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ ｆｏｒ Ｆｕｚｚｙ Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｑｕａｎｔｉｔｙ ｗｉｔｈ Ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ． Ｆｕｚｚｙ Ｎｕｍｂｅｒ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９９９，１０７（１）： ３７－５７．

［６］ Ｖｉｊａｙａｎ Ｔ， Ｋｕｍａｒａｎ Ｍ． Ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ ａ Ｍｉｘｔｕｒｅ ｏｆ Ｂａｃｋｏｒｄｅｒｓ ａｎｄ Ｌｏｓｔ Ｓａｌｅｓ ｕｎｄｅｒ Ｆｕｚｚｙ Ｃｏｓｔ ［Ｊ］． Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｒｅａｓｅａｒｃｈ， ２００８，１８９（１）： １０５－１１９．

［７］ 傅玉颖， 潘晓弘． 不确定情况下基于模糊集理论的库存研究［Ｊ］． 系统工程理论与实践， ２００５，２５（９）： ５４－５８．

［８］ 张群，李群霞． 考虑缺货的模糊库存模型及其优化求解［Ｊ］. 管理学报，２００６，３（４）：４６０－４６３．

［９］ 张群，李群霞． 考虑缺陷率和缺货的模糊库存模型的研究［Ｊ］． 系统工程理论与实践，２００８， ２８（１１）：６２－６８．