尊严的四色定理

潘国本

写下这个标题，我想到一个故事。

闵可夫斯基在哥廷根大学教书的时候，有一次，刚跨进教室，一个学生给他递上一张字条：如果要把一张地图上所有相邻的国家用不同的颜色区分开来，只要4种颜色就已足够。你能解释一下其中的道理吗？

教授看完字条说：“这已是一道名题了，之所以至今没有得到解决，那是因为没有第一流数学家关注过它。”他跨上讲台，直接在黑板上演算起来，不知不觉，下课铃响了，问题还没有解决。第二天，他在课堂上继续这道问题的证明，仍然无果而终。如此一连挂了多天黑板。那一天，先生脸色凝重，跨出教室，忽然雷声大作，他自我调侃说：“哎，老天爷在责备我狂妄自大了。我也无法解决这个问题。”

闵先生，与克莱因、希尔伯特并称哥廷根大学数学三巨头，也是爱因斯坦的老师，爱因斯坦不去听课那阵，闵先生还骂过爱因斯坦懒虫，后来爱因斯坦得知。闵先生也是给表述狭义相对论提供“闵可夫斯基四维时空”数学模型的恩师。但，数学从来不会去看一个人的名声或者脸色的。

让我们回到1850年，有一个叫格思里的英国青年。他在绘制地图时偶尔发现了这个“四色定理”，当时，只是一个猜想，但他感到很有意思，立即写信给他仍在伦敦大学读书的弟弟。他弟弟也认为应该是这样，但同样无力证明这个结论，立即去请教他的老师，著名数学家德·摩根。摩根也不含糊，他将两个同心圆的圆环部分分成3个区域，以这样4部分的图形。表明了3种颜色是显然不行的，但是，要他给出只要4种颜色的证明，他办不到。1852年他又写信去请教发明四元数的哈密尔顿。起初，哈密尔顿还很不以为然，但当他陷入这个问题后，尽管智慧过人，也耗费13年心血，仍一筹莫展。

又过了大约13年，问题还没有得到解决，有人正式把“四色问题”递交给了伦敦数学会，向全世界征求解答。不到一年，有位叫肯普的律师交来一篇论文。称已经“证明”出来了。他的证明于1879年发表于《美国数学杂志》。问题好像已经结束，可又过了11年，希伍德发现了这个证明的一个“窟窿”。希伍德是一个细心人，他没有完全否定肯普，在修补窟窿的进程中，他借助肯普提供的方法，证明出了五种颜色足以区分地图。即后人称的“五色定理”。

选择数学，也许就选择了苦行，选择了太上老君那只炼丹炉。人类历史上，我们还没有发现一位天才没有被数学难倒过、否定过。

令人十分困惑的是。这个四色难题在更复杂的曲面上反倒容易证明，到1968年，数学家已解决了除平面和球面之外，所有曲面的四色问题，恰恰在最简单的平面和球面内无力攻克。更有一个疑难，构形的可能情况实在太多。多到要作200亿个判断才能确定。这样，直到电子计算机出现，才带来新的曙光。1976年6月美国伊利诺斯大学的数学家阿沛尔和哈肯。运用当时最先进的电子计算机，花了1200个小时，单单计算程序就修改了500多次，终于攻下了这个四色定理。

据说，后来又有人发现他们的证明还有错误，好事多磨，直到1989年他们又做了新的修改。即使这样，事情好像仍未完全结束：用一种人工无法验证的机械方法给出的证明，算不算数学证明？既然人的认识是无限的，有没有一种超越机械的证明方法，在等待着我们？

有时数学会是这样的，比如黎曼猜想（1859年由黎曼提出），即使你拿出10万亿个数值证据，证明这个猜测是正确的，但仍然只是一个猜想，不能说它已经得到证明。有时数学又会是这样的。比如四色定理，它谦卑得连文盲也不会把它的意思弄错。当你初接手时，你会觉得答案就在河对面，游过河去就有了，因此，谁都想试试。根本不会想到文盲都能看懂的问题也会这么困难，最终还不是完全由人完成，而是借助计算机才能解决。那个哥德巴赫猜想，270年了，看懂它，中小学文化已经足够。根据媒体报道，宣称解决了这个猜想的民间研究者，已经有几十个了，可它还屹立在那里！

尊严的四色定理。尊严的数学！

责任编辑/田心红