特殊化策略在解答题中的应用

马先锋

【摘要】在数学教学中，有些问题用一般法解之会花费较多的时间，并且思考、推理、演算较为费劲，而运用特殊化策略则会事半功倍，甚至有意想不到的效果.由于特殊化策略具有一定的技巧性，同时缺乏严密的推理论证，所以一直以来我们只将它用于解决选择题和填空题，在解答题教学中会将它淡化.本文主要谈谈特殊化策略在解答题教学中的应用.

【关键词】特殊化；功效；途径オ

我们先来看2011年高考浙江卷理科22题：

设函数f(x)=(x-a)2玪n玿,a∈R.

（Ⅰ）若x=玡为y=f(x)的极值点，求实数a.

（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3玡］恒有f(x)≤4玡2成立（注：玡为自然对数）.

以下是标准答案的解答.

答案 （Ⅰ）略

（Ⅱ）①当0

②当1

ゝ(3玡)=(3玡-a)2玪n(3玡)≤4玡2,

解得3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡+2玡玔]玪n(3玡).

由f′(x)=(x-a)2玪n玿+1-a[]x.

令h(x)=2玪n玿+1-a[]x，则h(1)=1-a<0，h(a)=2玪n玿a>0，

且h(3玡)=2玪n(3玡)+1-a[]3玡≥2玪n(3玡)+1-3玡+2玡玔]玪n(3玡)[]3玡=2玪n3玡-1[]3玪n(3玡)>0.

又 h(x)在（0，+∞）内单调递增，

∴函数h(x)在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0，

则1

从而，当x∈(0,x0)时，f′(x)>0；

当x∈(x0,a)时，f′(x)>a；

当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，

即f(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,a)内单调递减，在(a,+∞)内单调递增.所以要使ゝ(x)≤4玡2对x∈(1,3玡］恒成立，只要f(x0)=(x0-a)2玪n玿0≤4玡2,(1)

f(3玡)=(3玡-a)2玪n(3玡)≤4玡2,(2)成立.

h(x0)=2玪n玿0+1-a[]x0=0，知a=2玪n玿0+x0.（3）

将（3）代入（1），得4x20玪n3x0≤4玡2，又x0>1，注意到函数x2玪n3玿在［1,+∞)内单调递增，故1

再由（3）以及函数2x玪n玿+x在（1,+∞)内单调递增，可得1

由（2）解得，3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡+2玡玔]玪n(3玡).

∴3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡.

综上，a的取值范围为3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡.

看到此解答过程，我们不禁感叹其思路的复杂，非常人能够做到.

下面谈谈我做这题的一些想法：

若将不等式分离参数，化为x-2玡玔]玪n玿≤a≤x+2玡玔]玪n玿，由g(x)=x-2玡玔]玪n玿在x∈(0,3玡］单调递增，得a≥g(3玡)=3玡-2玡玔]玪n3玡,令h(x)=x+2玡玔]玪n玿，则问题等价于a≤h┆玬in(x)，﹉′(x)=1-玡玔]x玪n玿玪n玿, h′(x)的符号较难判断，思路受阻.但若细心观察，不难发现x=玡恰好是h′(x)的零点，这个零点对解题无关紧要的吗？还是可以提供给我们更多的发现？能否以此为突破口，找到思路？由h′(x)=0，我们知道x=玡是它的极值点，那么是不是就是它的最大值点呢？这样只需证明h′(x)单调递增即可.而x∈(0,3玡］时，u（x）=x玪n玿玪n玿为增函数，所以h′(x)在(0,3玡］也为增函数，且h′(玡)=0，知x∈(0,玡)时，h′(x)<0，x∈(玡,3玡］时，h′(x)>0，故当﹛=玡时，h(x)取极小值即最小值h(玡)=3玡.所以a≤3玡，所以a的取值范围为3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡.以上的解法妙处就在于从x=玡这个特殊值入手，找到了新思路.由此可见，这种特殊值法如果能够运用恰当，它的功效将大大加强.想到了这样的解法，我又在思考，解法固然漂亮，但是不是只是灵光一现才能发现，可遇而不可求的呢？若不然，哪些问题会想到用特殊化策略去解题？

一、特殊化策略的定义

特殊化策略,就是根据问题所给的全部信息,通过观察分析,选取包含在问题中的某个特殊值,或某个特殊情形,得到并通过此特殊值（情形）的研究，给问题的求解提供思路和帮助，进而得到解决问题的思想方法.这里所指的特殊化策略，它可以是数，也可以是特例、特殊函数、特殊数列、特殊点等等.个性孕育在共性之中.人们总是首先认识了许多不同事物的特殊属性，然后才有可能更进一步地抽象、概括、归纳出各种事物的共同本质.特殊化策略，正是特殊和一般的辩证关系在数学学习中的灵活运用.它生动地体现了认识过程中以退为进(退是为了更好地进)的思想方法.

二、特殊化策略的思维过程

特殊化策略的思维过程，一般有下面的两种顺序表示：

1.问题的一般值（情形）→特殊值（情形）→特殊值（情形）的解决→问题的解决

解析 我们拿到一个一般问题，当很难入手时或常规方法较麻烦时，先将其特殊化处理，寻求出特殊化得到的结论或得到新发现，再通过类比、归纳，得到一般性问题的解决.

2.问题思路受阻→发现特殊值（情形）→以特殊值（情形）找到思路→问题的解决

某些复杂的问题，我们一般法处理会很麻烦或难以进行，这时看到存在的一个特殊值（情形），并以此为突破口，找到特殊值（情形）对整个问题的解决的联系，从而找出问题的解决思路.

三、特殊化策略在解答题中应用的类型

根据特殊与一般之间的辩证关系，特殊寓于一般之中，但有别于一般.特殊有一般的共性，但有其个性.而我们用特殊化策略就是要用特殊的情况来代替一般的情况，这样就要求我们在寻求特殊值法求解时既要用好它的个性，更要用它包含在一般性问题中的共性来解题.一般来说，我们用特殊化策略应用到解答题中，主要有以下五种类型：

1.用特殊值探求值，再论证完备性

波利亚说：“我们可从一个命题的极端情形来证实它存在的可能性”.（例外证明规律）我们高中数学中的有些题，在用一般法解出答案过程比较费时，若用特殊值直接求出值，再证明它的完备性，就会减少化简变形的过程.

例1 已知定义域为R的函数f(x)=--2瑇+b[]2﹛+1+a是奇函数，求a,b的值.

此题用常规思路由f(-x)=-f(x)解关于x的恒等式，过程较烦.

若取特殊值，根据奇函数的性质，得

f(0)=0，即-1+b[]2+a=0，解得b=1，ゴ佣有f(x)=-2瑇+1[]2﹛+1+a.

又 由f(-1)=-f(1)知，-1[]2+1[]1+a=--2+1[]1+a，解得゛=2.

ァ鄁(x)=-2瑇+1[]2(2瑇+2).再检验完备性，f(-x)=-2-x+1[]2(2-x+1)=-1+2瑇[]2(1+2瑇)=-f(x)，

故结论成立.过程要简化得多.

2.用特殊值探求结论是否成立

对于某些探索性问题，如果直接从一般情况去处理，会很难得到答案.但如果从特殊情况入手，可能很快就能得出结论是否成立.这时我们可以根据特殊与一般的关系，若结论不成立，则一般情况一定不成立，即问题得以解决；若此结论成立，我们可以再对一般情况进行证明.

例2 设f(x)满足f(x1)+f(x2)=2fx1+x2[]2fx1-x2[]2，且ゝπ玔]2=0，试问f(x)是否为周期函数？并证明你的结论.

分析 由题设条件，联想余弦函数的性质，与函数y=玞os玿类比，可猜想f(x)为周期函数，且周期为2π.对猜想的结论的正确性需进一步论证.

证明 对任意实数x，由题设有

f(x+π)+f(x)=2fπ玔]2+x猣π玔]2=0，

∴f(x+π)=-f(x)，

从而有f(x+2π)=f［f(x+π)+π］=-f(x+π)=f(x)，

∴f(x)是以2π为周期的周期函数.

评析 这是一道结论探索性问题.通过联想、类比，猜测出结论，然后进行论证.

3.用特殊值探求解题思路

“善于‘退足够地‘退.‘退到最原始而不失去重要的地方，是学好数学的一个诀窍.”(华罗庚语)对于那些解题思路不易被发现的问题，可先解决简单的特例，充分挖掘、提炼其解决过程的本质内涵，只要对特例看透了，钻研深刻，复杂问题便迎刃而解.

例3 试求平面上n条直线最多能把平面分成多少块区域？

分析 由“最多”可假定这n条直线两两相交，且任何三条直线不交于一点.

设n条直线最多把平面分成的区域数为f(n)，则f(1)=1，f(2)=4，f(3)=7，归纳：f(2)=f(1)+2，f(3)=f(2)+3.

为什么f(2)比f(1)多2块?为什么f(3)比f(2)多3块?

通过对这两个问题的回答，我们能从中悟出：当平面内增加一条直线l璶时，直线l璶与前n-1条直线共有n-1个交点，这n-1个交点，把l璶分成n段，而每一段把它所在的平面块一分为二即增加一块，共增加n块，即得递推关系：

f(1)=2,n=1,

f(n)=f(n-1)+n,n≥2,

由此递推关系，得

f(n)=f(1)+［f(2)-f(1)］+［f(3)-f(2)］+…+［f(n)-猣(n-1)］=2+2+3+…+n=n2+n+1[]2.这个解法是完全可靠的，不必再加证明.

4.用特殊值证明否定性的命题

根据一般与特殊的关系，一般成立特殊必成立；反之，若特殊不成立，则一般必不成立.故在证明一些否定性命题或否定命题的结论时，常可考虑用特殊值法.

例4 设{a璶},{b璶}是公比不相等的两个等比数列，ヽ璶=猘璶+b璶，证明：{c璶}不是等比数列.

证明 设{a璶},{b璶}的公比分别为q1,q2（q1≠q2）,欲证数列{c璶}不是等比数列，只需证明c1,c2,c3不成等比数列即可.

由c22-c1c3=(a2+b2)2-(a1+b1)(a3+b3)=(a1q1+b1q2)2-(a1+b1)(a1q21+b1q22)=…=-a1b1(q1-q2)2≠0.

ス蔯1,c2,c3不成等比数列，所以{c璶}不是等比数列.

5.用特殊值发现新思路

“极端情形具有启发性.”(波利亚语)有些数学问题，在常规方法较难求解或非常复杂的情况的时候，若发现所求对象中的某些特征，并应用这些特征来启发新思路，可能会给解题带来意想不到的效果.例如本文开头所举的２０１１年高考数学浙江卷理２２题，就属于这种类型.

当然，在用特殊值法解决解答题时还要注意以下几点：（1）前提：所取的特殊值应该满足题设条件.（2）作用：所取的特殊值能使解答题的求解过程简化或提供帮助和思路.（3）方法：用所取的特殊值去找到一般情况的求解思路，或用所取的特殊值为问题的解决发现新思路.

另外，在解答题中用特殊值法我们主要的目的是通过研究特殊值，找到一般值解决的突破口.所以在解题教学中既要培养这样的意识，但必须要理清特殊与一般之间的辩证关系，防止用特殊值代替一般值来解答，同时也要避免在解题中走极端，做题总是去考虑特殊情形，而忽略通性通法的掌握.但解题还是要以常规方法作为解题的基本手段和铺垫，熟悉和理解能用特殊化策略解题的类型，在通性通法撑握的前提下，追求更为快速简便的特殊化值法解题.

当然特殊化策略作为一种常见思想方法，它在解答题的应用可能还不止这些.但我们在数学解答题讨论与研究中，若能根据题型运用特殊化策略，能从问题的特殊情形出发，常能起到启迪思维、简化过程、优化步骤、去伪存真、培养能力之功效.