渗透数学思想掌握解题方法

贺明亮

面对浩瀚的数学题海，我们不可能全部做完，我们只能以不变去应万变，变换的是题型，但是不变的是解题方法.如何在教学过程中将解题方法很好地展示给学生，促进学生解题能力的提高是我们教师深思的问题.本文就高中数学解题，介绍了自己对数学解题方法的一点认识和体会.

一、高中数学解题的基本方法

美国著名数学教育家波利亚曾经说过，“学好数学就意味着要善于解题”.而当我们解题的时候遇到一个问题，总想用自己熟悉的题型去“套”，只有对数学解题方法理解透彻后，才能很好地将解题方法运用到解题过程中.下面以反证法为例：

反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：

（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；

（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；

（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.

其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.

例1 给定实数a,a≠0，且a≠1，设函数y=x-1[]ax-1x∈R,且x≠1[]a，求证：经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.

证明 假设函数图像上存在两点M1,M2，使得直线M1M2平行于x轴.

设M1(x1,y1),M2(x2,y2)，且x1≠x2.由k㎝1M2=0，得

y2-y1[]x2-x1=x2-1[]ax2-1-x1-1[]ax1-1[]x2-x1=a-1[](ax2-1)(ax1-1)=0，

解得a=1.与已知a≠1矛盾.

故经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.

二、结合高考题分析解题方法

高考题非常重视对于教学方法的考查，以下是结合高考题分析解题方法.

例2 （2010年江苏高考题）设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数，其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0，使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).

设函数f（x）=h（x）+b+2[]x+1（x>1），其中b为实数.

（1）求证：函数f(x)具有性质P(b)；

（2）求函数f(x)的单调区间.

（1）①证明 依据题目给的条件：f（x）=﹉(x)+猙+2[]x+1，

∴f(x)=1[]x-b+2[](x+1)2=x2-bx+1[]x（x+1）2.

这样题目是：f′(x)=h(x)(x2-ax+1)，h（x）＞0具有P（a）性；在f（x）=x2-bx+1[]x（x+1）2中，只需要证明1[]x（x+1）2＞0即可.

∵x＞1，∴1[]x（x+1）2＞0,∴f（x）具有性质P（b）.

（2）判断f（x）=x2-bx+1[]x（x+1）2的正负，只需要判断x2-゜x+1在（1，+∞）上的正负；

而我们并不知道b的值，所以对b要进行一次分类讨论（遇到影响判断的未知数的时候，必然要进行分类，对未知数的取值范围进行分类讨论）.

当b≤2时（为什么是2，这个看二次函数的对称轴），﹛2-猙x+1≥x2-2x+1=（x-1）2＞0（∵x＞1）.

此时，f（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数.

当b＞2时，对于x2-bx+1＞0，可解：x＞b+b2-4[]2或x＜b-b2-4[]2（舍去）.

∴当b＞2时，x＞b+b2-4[]2时，f（x）＞0，f（x）在b+b2-4[]2,+∞上是增函数；x＜b+b2-4[]2时，f（x）＜0，f（x）在1，b+b2-4[]2上是减函数.

综上：当b≤2时，f（x）的增区间为（1，+∞）；当b＞2时，f（x）的增区间为b+b2-4[]2,+∞，减区间为1，b+b2-4[]2.

本题考查了学生根据已知条件进行模仿推理判断的能力（就是P(a)的判定），以及利用函数导数判断单调性并进行适当的转换（最后一问，把值的大小转变成为自变量的大小），总体难度不是很大，没有体现压轴题应有的难度.这道题告诉我们，常见对数、指数、分数等的导数要会求解，不会求的话赶紧学.另外，最后一问的转变非常有意思，对于学生关于函数的理解是一个非常不错的考查.

三、总 结

学习是一门学问，讲究技巧，学生一定要深刻理解基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法.试卷上一般是不需要考生默写某个概念或公式，而是用这些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过做题来获得，数学知识要在理解的基础上记忆，记住的东西只有通过做题才能巩固和熟练应用.教学方法的总结过程其实也是一种知识学习与积累的过程,学生在做题过程中，逐渐熟练掌握并运用到解题中.只有熟练掌握解题方法，学生才能以不变应万变，才会不断提高.

【参考文献】

［1］波利亚.怎样解题.阎育苏译.北京：科学出版社，1982.

［2］罗增儒，罗新兵.作为数学教育任务的数学解题.数学教育学报（天津），2005（2）.