一个问题,别样风景

罗树锋

教育是门遗憾的艺术，教育有法，教无定法，需要因人而异，随机应变.教育更像艺术，艺术也有法则，但不拘泥于法则，更多的是创造.随着教学改革的不断深入，教学理念的不断更新，课堂教学的有效性讨论也在各地如火如荼地展开，怎么样的课是好课，怎么样的课能更好地促进学生思维的发展，提高学生学习数学的一种本原意识，笔者尝试浅析宁波市教坛新秀评比给出的其中一个课题是评析“2011年浙江省会考第41题”的两个同课异构案例，供同行探讨.

一、一种问题

（2011年浙江省会考第41题）

圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴正半轴相交于两点M,N（点M在点N的左侧），且|MN|=3.

（1） 求圆C的方程；

（2） 过点M任作一直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A,B，连接AN,BN，求证：∠ANM=∠BNM.

二、两种风景

课例一

1.新课导入

在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足PA[]PB=λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，称作阿波罗尼斯圆.这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理.

介绍：阿波罗尼奥斯(獳pollonius of Perga)，约公元前262年生于佩尔格,约公元前190年卒，数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.

2.强化概念

例1 已知A(1,0)，B(4,0)，点P是平面内的动点，满足2|AP|=|BP|，求点P的轨迹方程.

3.课题呈现

圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴正半轴相交于两点M,N（点M在点N的左侧），且|MN|=3.

（1） 求圆C的方程；

（2） 过点M任作一直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A,B，连接AN,BN，求证：∠ANM=∠BNM.

4.真题再现

例2 （2003年北京春季高考卷）设A(-c,0)，B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离的比为定值a(a>0)，求点P的轨迹.

例3 （2008年高考数学江苏卷）满足条件AB=2，〢C=2BC的△ABC的面积的最大值是.

例4 （2006年高考数学四川卷）已知两定点A(-2,0)，B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的面积等于（）.

A.πB.4πC.8πD.9π

5.课堂小结

阿波罗尼斯圆在高中数学中的应用比较广泛，在高考题中也有不少应用，接下来请同学们小结一下本节课学过的知识和方法.

课例二

1.提出问题，引入课题

圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧），且|MN|=3.

（1） 求圆C的方程；

（2） 过点M任作一直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A,B，连接AN，BN,求证：∠ANM=∠BNM.

2.化整为零，层层深入

探究1：求解圆方程.

探究2：圆上两定点M,N的坐标.

例1 圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴正半轴相交于两点M,N（点M在点N的左侧），且|MN|=3，求圆C的方程.

例2 已知点M(1,0)，N(4,0),圆x2+y2=4，过点M任作一直线与圆相交于A,B两点，连接AN,BN，探究∠ANM与∠BNM会有什么关系呢？

探究3：通过两个角是直线AN、直线BN与x轴的夹角，联想其关系，进而转化为两斜率之间的关系，达到形到数的转化（∠ANM=∠NBM趉〢N+k〣N=0）.

探究4：利用角平分线定理的逆用，拓展思路，∠ANM=∠NBM趞AM|[]|BM|=|AN|[]|BN|，为引出阿波罗尼斯圆作准备.

探究5：深入挖掘题目，引出阿波罗尼斯圆，拓展知识面，由阿波罗尼斯圆的定义为后继的圆锥曲线定义引出领路.“圆”来如此.

探究6：在本题中，若当点N为x轴上动点时，∠ANM=∠BNM是否还成立？

3.课后小结：学生谈在本节课中的收获.

三、三点比较

本题虽然是一个会考题，但是难度不小，学生在处理此类问题时思路常常会受阻，两节课在处理问题上有较大的不同，主要有三大方面：

第一个不同：课例1用“阿波罗尼斯圆”定义作为导入，对学生来说，全新的数学概念，特别是一个新奇的数学家的名字所激发的兴趣是非常大的.而课例2直接给出课题，开门见山，学生在常态的课例中发现了亟待解决的问题，这个问题来源于课题的“难”，应当说，利用刺激性的课题引入也不失为一种好方法.

第二个不同：课例1重点在“阿波罗尼斯圆”的落实上，从定义的给出到强化定义再到定义的应用，引出了本节课要重点解决的课题.课例2将课题层层剥开，化整为零，分解出小问进行问题的处理，而“阿波罗尼斯圆”的定义引出仅仅是课题进行中的一个意外收获，在这里，将题中的要求分解进行解决体现了一种价值理念.

第三个不同：课例1的强化落实是围绕“阿波罗尼斯圆”层层展开，进一步理解和掌握“阿波罗尼斯圆”.而课例2的强化落实是通过探究动点问题来将原课题引到更深的层次，体现了生成性的教学过程，实现教师为主导，学生为主体的教学理念.

四、四点反思

本次“同课异构”的活动，通过同行们的讨论和探讨，有如下反思，供大家参考：

反思一：教学设计是为了追求高效率、高质量的课堂教学，备课前的准备工作也是必不可少的，可以阅读一些参考资料和同行的教学案例，而网络上涉及课题中相关问题的知识也很多，但同时，教师也应当经过适当地挑选，并经过详细地改编以期在课堂的呈现中表现出自然的一面，而不是很突兀的感觉.

反思二：怎样准备课.其实，教学的过程和学生学习的过程应当是极为相似的，所以，在课堂准备活动前了解学生，从学生的角度出发进行教学准备应当是比较有效的一种方法.

反思三：解析几何不是单一的几何问题代数化，而应当将几何问题和代数方法有机地结合在一起，应着重于学生思维层次的培养上面.所谓知其然更应当知其所以然，教会学生解决问题的办法从而达到一通百通的目的.

反思四：怎么样的课是好课.好课是没有标准的，但是基本上应当有以下几个要求：有意义，有效率，看生成性，看常态性，是否具有可完善性.从这五个基本点出发可能对我们的课堂教学的改进会有些积极的作用.

课无完课，教无定法，所以，不断从课例的对比中找出其闪光点，找到适宜的教学方法，让教师的教学设计思维在碰撞中产生火光，这也是提高教师教学专业水平的一种行之有效的方法.

【参考文献】

ダ紫莉.新课引入的教学研究.中学数学教学参考（上旬），2011年3月.