变边界条件下的电磁场边值问题解析研究

党晓强，刘 念，张 力，刘继春

(1.上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200240;2.四川大学电气信息学院，四川成都 610065;3.西华大学电气信息学院，四川成都 610039)

0 前言

在“电磁场”课程的电磁场分析中，那些具有最简单边界条件和场域几何形状规则的问题才有解析解，多数问题的求解必须用数值计算的方法，其场域分布的解析计算内容是学习难点。但解析法的主要缺点是缺乏普遍性，而且为了求得场的解答需要花费很多的精力，如寻求特殊的算法和技巧［1-3］。

本文针对一道具体习题，利用对应系数必须合理相等的思想求解变边界条件的电磁场边值问题。实例所给场域的约束条件如图1所示。

本题的数学模型条件为

图1 场域的约束条件

可知这是一道拉氏方程的变边界条件场域求解问题，可采用分离变量解析解法求解，现设

将它代入数模中的拉普拉斯方程中，则有

由于等式两边分别为x，y的函数，故等式只能等于一个常数。

下面讨论该常数采用不同取值的情况。

可知上面等式无解，故常数不可以取正。

2 常数为－时的情况

同样，联系式(1)边界条件1可知

由解法可知，二次边界条件自动满足。

3 常数为kn=0时的情况

因其明显不满足边界条件，故弃之。

4 结语

由式(17)可知，该题解析解为

将解析解答案代回原题目进行验证，可见满足约束条件。用类似的步骤对定边界条件题目进行求解，也可以得到响应清晰的解题过程和完善答案。

分离变量法是电磁场理论中重要的解析求解方法。文中题目的具体求解中运用到复数对应相等，实数指数对应相等，弦函数与其复变数间的切换等方法，可以为用分离变量法求边值问题的解析解做出很好的诠释。尤其在如何运用对应系数相等这一条件时，如用到复数对应相等和实数指数对应相等，完整的体现出了具体应用。在通常涉及到电磁场求解的教材中，几乎都缺乏类似的例证。笔者针对文献［4］中给出的相关例题用前述分离变量法和对应系数相等进行了求解，推导也不复杂，且条理更清晰。用类似的步骤和解法对定边界条件题目也可以进行求解，可以得到清晰的解题过程和完善的答案。

［1］胡之光.电机电磁场的分析和计算［M］.北京:机械工业出版社，1982

［2］张榴晨，徐松.有限元在电磁场计算中的应用［M］.北京:中国铁道出版社，1996

［3］Bhag Sing Gurn，Hiziroglu著，周克定，张肃文，董天临，辜成林译.电磁场与电磁波［M］.北京:机械工业出版社，2000

［4］冯慈章.电磁场(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，1983