离散周期Wigner-Hough变换及其检测性能分析✴

王泽众，刘锋，黄宇，向崇文

离散周期Wigner-Hough变换及其检测性能分析✴

王泽众1，刘锋2，黄宇1，向崇文1

（1.海军航空工程学院研究生管理大队，山东烟台264001；2.海军航空工程学院电子信息工程系，山东烟台264001）

分析了周期Wigner-Hough变换（PWHT）进行离散化计算时，对线性调频连续波（LFMCW）信号的检测性能。通过推导高斯白噪声中LFMCW信号经离散化PWHT后信噪比处理增益表达式，分析了离散PWHT的弱信号检测性能。通过推导离散PWHT较离散Wigner-Hough变换（WHT）的检测性能优势表达式，比较了离散PWHT与离散WHT算法的检测性能。仿真实验验证了离散PWHT的信噪比处理增益具有准相干积累的效果，PWHT较WHT更优的检测性能。

时频分析；周期Wigner-Hough变换；LFMCW；检测性能分析

1 引言

连续波（CW）雷达信号工作比为1，在相同的探测性能要求下，较脉冲雷达信号有更低的功率，雷达侦察系统对于连续波雷达信号的截获比脉冲雷达信号更加困难［1］。单载频连续波雷达信号可以实现速度测量，但是其距离分辨力较低，不适用于高性能的雷达系统。线性调频连续波（LFMCW）信号既可以获取远程目标距离信息，同时又有较高的速度分辨率，又适合使用FFT处理器快速处理，成为高性能调频连续波（FMCW）雷达［2-3］广泛使用的雷达信号。并且，由于此类雷达信号辐射功率低，调制规律复杂，现有雷达侦察系统对此类信号的截获性能亟待提高。对于LFMCW信号的有效截获，是目前雷达侦察领域的研究热点之一。

针对此问题，国内外进行了广泛研究。具有代表性的，文献［4］采用镜像滤波器组（QMFB）对LFMCW信号的检测进行了研究，但是QMFB不具抗噪功能，需要首先对信号进行消噪处理，导致信号检测与参数提取能力受消噪能力影响较大。文献［5-8］在时频平面上，通过Wigner-Hough变换（WHT），将LFMCW信号看成是多个LFM脉冲信号进行了信号检测研究。WHT是LFM脉冲信号的广义似然比检测（GLRT）［9］，即无任何先验信息条件下的最优检测，但是在LFMCW信号持续时间内，其频率调制的变化趋势并不是持续的线性调频（LFM），而是呈现出调频率周期间断的LFM特征，多个间断LFM信号的WHT存在交叉项，将WHT应用于LFMCW信号的检测，并不是最优检测，并且其运算复杂度相对比较高。文献［10-12］采用基于分数阶Fourier变换（FRFT）的快速算法，在大大降低运算复杂度的情况下，取得了同WHT基本相似的LFMCW信号检测能力，同样无法克服多个间断LFM信号的交叉项问题。

考虑侦察接收机的一次观测时间，当观测时间变长时，进入接收机的LFMCW信号有更多的调制周期，引起信号能量增大。理论上说，LFMCW信号的检测能力应随进入的LFM调制周期数增加而相应提高。但是，在LFMCW持续时间内，其频率调制周期性变化并不是持续的LFM，基于QMFB、WHT或FrFT的LFMCW检测的算法，并没有随着观测时间的延长而产生输出信噪比的改进。

周期Wigner-Hough变换（PWHT）是2010年由Francis G.Geroleo［13］提出的，将LFMCW信号的周期性LFM特征考虑在内，可以实现对LFMCW信号的广义似然比检测和极大似然估计。工程应用和仿真分析中，往往通过计算机进行数值计算，需要研究PWHT的离散化算法。

对于离散化的PWHT，其性能直接影响工程应用，本文以离散PWHT的LFMCW检测性能为对象开展研究。首先，对LFMCW的离散PWHT进行了

研究，得出了其数值与采样点数的关系。然后，对LFMCW经PWHT处理后的输入输出信噪增益进行了推导，得出了关系表达式，分析了采样频率、采样时间对输入输出信噪增益的影响。接下来，根据Wigner-Hough变换与周期Wigner-Hough变换的联系，得到了周期Wigner-Hough变换较Wigner-Hough变换的检测能力优势表示。最后，通过Matlab仿真验证了离散化周期Wigner-Hough变换对LFMCW信号的检测性能。

2 离散化PWHT算法

设采样频率为fs，采样点数为N，LFMCW信号LFM周期为T，带宽为BW，则调频率Δ=BW／T，在采样点数的观测时间内，有M=N／（T·fs）个LFM调制周期。信号表示为

式中，x（n）表示LFMCW信号；n为采样点，n=0，…，N-1。

将连续PWHT［13］的瞬时自相关函数和匹配函数进行离散化，得到：

式中，n和k表示时间采样点。则任意离散信号y（n）的PWHT可以表示为

上式应用于数值计算，需要确定n、k的求和范围。由式（3）可知：

对此不等式方程组求解，可以得到：

当LFMCW雷达信号不含噪声，则有：

LFMCW信号离散PWHT在参数集f˜i=fi、˜Δ= Δ、˜τbias=τbias、˜T=T处得到最大值，使LFMCW信号在坐标f˜i=fi、˜Δ=Δ、˜τbias=τbias和˜T=T处有最好的能量聚集性，并且峰值点幅度符合采样点数N的二次方关系。随着N的增大，峰值数值取得更大的增长。

3 离散PWHT算法性能分析

由于随机噪声的存在，信号y（n）=x（n）+ ω（n）离散PWHT的峰值PWHT（fi，Δ，τbias，T）成为随机变量，势必影响对于LFMCW信号的检测。存在噪声的情况下，有必要分析离散PWHT算法对于LFMCW信号检测性能。

假定噪声为加性循环高斯白噪声，且LFMCW信号与噪声不相关。因为噪声中LFMCW信号检测是在离散PWHT处理后进行的，输出信噪比SNRout与输入信噪比SNRin有一定的关系，即处理增益。通过离散PWHT的处理增益对其检测性能进行分析。

离散PWHT处理后噪声污染的LFMCW信号输出信噪比SNRout表示如下：

式中，分子表示LFMCW信号本身的离散PWHT，由式（9）可知其值为N2A2／22=N4A4／4；分母表示LFMCW信号加噪声信号的离散PWHT的方差，其计算公式为

式中，E［·］表示数学期望。

加性循环高斯白噪声，即噪声的实部和虚部独立同分布，均为高斯白噪声。设ω（n）的实部和虚部均服从均值μ为0、方差为σ2ω的正态分布，则噪声的离散自相关为

式中，δ（k）表示单位冲激函数。

由式（5）得：

将式（1）、（2）和（4）代入上式，得到：

其中：

综合式（16）和（17），得到

则：

接下来求离散PWHT平方的期望，其表示式为

式中，x1=x( n+k)，x2=x( n-k)，x3=x( p+q)，x4=x(p-q)，ω1=ω(n+k)，ω2=ω(n-k)，ω3 =ω(p+q)，ω4=ω(p-q)；H(n，k，p，q)表示式（4）中离散PWHT匹配函数的平方，即：

由于LFMCW信号与噪声不相关，且零均值循环高斯白噪声的3阶矩为0，则式（21）表示如下：

将x1～x4、ω1～ω4和式（22）代入上式，得到

将式（20）和（24）代入式（11），可以得到

将式（9）和（25）代入式（10），可以得到输出信噪比

由上式可以看出：当SNRin≫1时，SNRout≈N／2 ·SNRin，采样点数N成为SNRin的倍增器，说明在大信噪比条件下，离散PWHT可以大幅提高信噪比，有利于信号的检测；但是，当0＜SNRin≪1时，SNRout≪SNRin，离散PWHT处理后反而使SNRin变得更小。

为了描述SNRout与SNRin的关系，设计信噪比增益因子G，如下所示：

当SNRout大于SNRin时，G＞0；SNRout小于SNRin时，G＜0；SNRout等于SNRin时，G=0，即无增益。为了实现输入信噪比SNRin的改善，需要采样点数N的合理设置，使得到G＞0。

图1描述了SNRin和采样点数N共同对G的影响，并在其中标出0 dB平面（即G=0），在0 dB平面以上表示SNRout大于SNRin，反之表示SNRout小于SNRin。由图可以看出：关系曲面只要满足一定条件，明显穿越0 dB平面，其穿越临界点由信噪比SNRin和采样点数N共同决定。

取SNRin等于-20 dB、-15 dB、-10 dB、-5 dB、0 dB的切面，可以描述采样点数N与SNRout的关系，如图2所示。由图可以看出：SNRout（dB形式）随采样点数N增大以指数级别提高，在-20 dB条件下，当N大于500时，SNRout大于SNRin。这说明：在低信噪比条件下，只要采样点数N足够大，可以满足SNRout大于SNRin的要求，离散PWHT可以适用于低信噪比下的LFMCW信号检测。

在观测时间Tobs确定的情况下，采样点数N主要由采样频率fs决定，有以下关系：

低信噪比下的LFMCW信号检测，根本上是可以通过提高采样频率fs而不断改善的。由于Tobs确定，N和fs为线性关系，采样频率fs与SNRout的关系与图2相似。理论上说，LFMCW信号的低信噪比检测可以通过提高fs而实现。

由于fs与SNRout的关系，当fs固定时即N固定时，SNRin与SNRout有确定的关系。设N等于8、16、32、64、128，同时加入SNR′out=SNRin（即输出信噪比增益等于0 dB）作为对比，得到SNRin与G的关系，如图3所示。

由图可以看出：当N固定，SNRin小于某一特定值时，G＜0 dB，有SNRout＜SNR′out=SNRin；除此之外，SNRout均大于SNRin。此临界点在N＞16时，其值为SNRout均大于SNRin。而在实际接收机中，其采样点数N一般远大于此数值，低于此数值导致SNRout≪SNRin的情况是不存在的。所以，离散WHT在实际信号环境中总能保证SNRout＞SNRin，可以应用于实际信号环境中（包括低信噪比环境）的LFMCW信号检测。

综上所述，可以得到如下结论：由于PWHT所处理的LFMCW信号其持续时间（或调频带宽）是有限的，在采样频率fs足够高的条件下，采样点数N也会足够大以适应低信噪比和参数估计精度要求，在运算量提高的代价下，无论在大信噪比还是低信噪比条件下，都可以实现LFMCW信号的检测和参数估计。

4 PWHT较WHT的处理增益分析

设观测时间Tobs内一个LFMCW信号的LFM调制脉冲数为M，一个LFM调制周期的时间长度为T，采样频率为fs，则观测时间内的总采样点数为

基于PWHT的处理增益为

由于WHT是基于一个LFM调制周期进行处理的，没有PWHT的累积过程，其处理增益为一个LFM调制周期处理的增益，在此时间内的采样点数为Tfs，结合文献［4］给出的WHT的处理增益，可以得到

由式（31）和式（32）可以得到PWHT较WHT的增益

取一个LFM周期内的采样点数Tfs分别为16、

32、128和256，观测时间内LFMCW信号包含LFM周期个数M=1，2，3，4，5，输入信噪比SNRin取-50～10 dB，对PWHT较WHT的增益进行了Matlab仿真，结果如图4所示。由图4中任意一张图可以看出，在一个LFM周期内的采样点数Tfs固定的情况下，观测时间内LFMCW信号包含LFM周期个数M越多，PWHT较WHT的增益越高。在M=5的条件下，PWHT较WHT的处理增益高达大约14 dB，充分证明了PWHT较WHT对LFMCW信号有准相干积累增益，PWHT较WHT处理更适合处理LFMCW信号。

值得注意的是，在M=1时，PWHT较WHT的处理增益为0 dB，说明PWHT处理单脉冲LFM信号时，其效果与WHT是相同的。

5 结论

周期Wigner-Hough变换可以实现对LFMCW信号的广义似然比检测和极大似然估计。将其用于工程应用和仿真时，往往进行离散化数值计算，离散化的PWHT其性能直接影响工程应用，需要研究PWHT的离散化算法对该变换的影响。

本文以离散PWHT的LFMCW检测性能为对象，研究了离散化周期Wigner-Hough变换的信噪比增益以及较WHT的检测性能优势。得出结论为：离散PWHT的信噪比处理增益具有准相干积累的效果，PWHT较WHT更优的检测性能，更适合在噪声环境中对LFMCW信号的检测。

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WANG Ze-zhong was born in Jinan，Shandong Province，in 1983.He received the M.S.degree in 2008.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns interception and identification of complex modulation radar signal.

Emulate：godohmy2005＠tom.com

刘锋（1960—），男，陕西宝鸡人，2010年获博士学位，现为教授、博士生导师，主要研究方向为电子信息战理论及应用；

LIU Feng was born in Baoji，Shaanxi Province，in 1960.He received the Ph.D.degree in 2010.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns the theory and application of electronic information war.

黄宇（1983—），男，湖南永州人，2009年获硕士学位，现为博士研究生，主要研究方向为复杂调制雷达信号截获与识别；

HUANG Yu was born in Yongzhou，Hunan Province，in 1983. He received the M.S.degree in 2009.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns interception and identification of complex modulation radar signal.

向崇文（1986—），男，湖南桑植人，2008年获学士学位，现为硕士研究生，主要研究方向为雷达侦察信号处理。

XIANG Chong-wen was born in Sangzhi，Hunan Province，in 1986. He received the B.S.degree in 2008.He is now a graduate student. His research concerns radar reconnaissance signal processing.

Digitized Periodic Wigner-Hough Transform and its Performance Analysis

WANG Ze-zhong1，LIU Feng2，HUANG Yu1，XIANG Chong-wen1
（1.Graduate Students′Brigade，Naval Aeronautical and Astronautical Institute，Yantai 264001，China；2.Department of Electronic Engineering，Naval Aeronautical and Astronautical Institute，Yantai 264001，China）

Linear Frequency Modulation Continuous Wave（LFMCW）detection performance of the digitized Periodic Wigner-Hough Transform（PWHT）algorithm is studied.Firstly，the weak signal detection performance is analysed through the derivation of the gain of the input signal-to-noise ratio（SNR）of a noisy LFMCW signal to the output SNR after PWHT processing.Then，the PWHT and Wigner-Hough Transform（WHT）detection performances are compared by obtaining the promotion of the gain of the input SNR to the output SNR after PWHT processing and WHT processing.Finally，the quasi-coherent integration effect of the PWHT algorithm in LFMCW detection is demonstrated through simulations，and the fact that PWHT performs better in the detection of LFMCW signal than WHT is also verified.

time frequency analysis；digitized periodic Wigner-Hough transform；LFMCW；detection performance analysis

The National Natural Science Foundation of China（No.60902054）；China Postdoctoral Science Foundation（No.20090460114）

TN971.1

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.09.008

王泽众（1983—），男，山东济南人，2008年获硕士学位，现为博士研究生，主要研究方向为复杂调制雷达信号截获与识别；

1001-893X（2012）09-1452-07

2012-02-28；

2012-04-26

国家自然科学基金资助项目（60902054）；中国博士后科学基金资助项目（20090460114）