易拉罐形状和尺寸的最优设计

裔晶晶，金健

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

易拉罐形状和尺寸的最优设计

裔晶晶，金健

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

探讨了易拉罐形状和尺寸的最优设计问题.首先测量了常见易拉罐的尺寸，然后建立静态优化模型，分别求解出了将易拉罐形状简化为圆柱形和圆柱、圆台结合形的最优设计.最后，在综合考虑外形、手感、美观等因素的基础上，建立了非线性规划模型，并借助MATLAB编程得出新型易拉罐的最优设计.

最优设计；静态优化模型；非线性规划模型

生活中像可口可乐、青岛啤酒这类饮料量约355毫升的易拉罐拥有相同的形状和尺寸，考虑到其销量可能大至几亿，甚至几十亿，那么我们认为指定形状后的最优设计就是最省料的设计.本文建立模型解决圆柱形及圆柱圆台组合形易拉罐的最优设计问题，并在节省材料和人性化的基础之上设计出一种新的易拉罐.

1 对实际易拉罐的测量与统计

取一个生活中常见的355毫升的易拉罐，采用15次测量求平均值的方法对真值进行估计，并根据样本数据取置信度为0.85，得到均值和置信区间如表1所示.

表1 所测易拉罐的尺寸大小/

2 圆柱形易拉罐的最优设计——模型一

2.1 模型建立

此时易拉罐的形状见图1，易拉罐的体积是一定的.现将易拉罐分成侧面、上底面和下底面三部分（下底面与侧壁同厚、上顶面厚度记为βb），分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b≺≺R ,b≺≺h，由此可得到用料的近似值）：

又因为易拉罐的容积V一定，即πR2h=V，所以建立以下条件极值优化模型[1]：目标函数：V(R,h)

约束条件：πR2h=V

2.2 模型求解

图1 圆柱形易拉罐

3 圆台与圆柱组合形易拉罐的最优设计——模型二及模型三

3.1 模型二的建立

此时易拉罐的中心纵面图见图2，现将易拉罐分成圆柱部分的侧面、圆台部分的侧面、上底面和下底面四部分，分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b≺≺R ,b≺≺h，由此可得到用料的近似值）：

图2 圆台形纵面图

3.2 模型二求解

3.3 模型二的改进及其求解——模型三

结合实际生活中常见的易拉罐，它们的顶部确实加上一个圆台，然而通过这一问的解答，圆台与圆柱相结合是达不到用材料最少的，我们便考虑到这样的设计涉及到易拉罐的坚固性、可使用性及美观性.利用物理知识可以知道，圆柱上加上一定斜率的圆台后能使罐顶达到一定的机械强度；可使用性指罐顶的半径必须达到一定长才能使人易于扳开拉环；美观程度可以用直径与高的比与黄金比例间的差距来衡量.

利用MATLAB7.1最优化工具箱中的fmincon函数求解[3]，求解时要对模型做进一步的约束，结合模型一的结果，我们取：R≥32，r≥24，R＞r，h≥107，l≥12.1，规定步长为0.01 mm，经过搜索得到一个最优解：R=33.55 mm,r=28.71 mm,h=107.00 mm,l=12.10 mm，此时上部是一个正圆台，下部是一个正圆柱体，用料为4471.60 mm3.对比于实际数据和模型一的结果，显然更加接近实际值，这说明我们对模型二的改进是合理的.

4 基于若干设计原则的新易拉罐的最优设计——模型四

4.1 模型的建立

在对两种简化后的易拉罐进行最优设计的分析后，我们综合考虑了易拉罐的形状、手感和观感方面对易拉罐进行重新设计.

从形状来看，罐内装有大量液体，在运输过程中会对罐体壁产生很大的冲力，为了使罐体受力均匀，故将罐体壁设计成旋转体.同时为了降低罐底受到的较大压力，将下底面设计成凸起的形状.再结合球形用材少容积大的好处，我们将圆台设计为半球，即上盖变成了半球.

从手感方面考虑，在成年人中，女性手掌的尺寸一般小于男性，这里我们以女性手掌尺寸为参考.当大拇指和中指这两个部位的距离达不到易拉罐横切面周长的一半时，则手感不佳且不易握牢.因此，当成年女性正常握持易拉罐时，其大拇指指尖到中指指尖间的圆弧长度应不小于罐身半周长.

图3 新易拉罐形状图

图4 新易拉罐纵面图

从观感来看，将易拉罐底面直径与高的比设置在黄金分割比的附近为佳，此处规定其值在0.56到0.70之间，同时我们还将横截面设计成具有个性的双曲线型.

考虑以上各种因素，新设计的易拉罐形状见图3、图4.

为减小冲力，罐内需留出少量空间，同时考虑底部有凸起的部分，因此将罐体容积设计成390毫升.

据调查，成年人的中指距握线为10厘米，拇指距握线8厘米[4]，所以规定周长最大为36厘米，最小为18厘米，即半径最大为5.73厘米，最小为2.86厘米，因为罐体中间最细的部分为人手握住的部分，则有2.86≤r1≤5.73.在这样的设计中所用的材料为：

另外考虑到观感因素，设定r2大于r1的幅度不低于20%，则建立如下非线性规划模型：

目标函数：minV'(r1,r2,h)；

4.2 模型求解

取r1和r2的步长为0.01，通过公式（1）计算出h的值，判断是否符合公式（2），如果符合，就计算出V'的值，最后在计算出的符合条件的V'中找到其最小值对应的r1,r2,h，此即为我们新设计的易拉罐尺寸的最优设计.利用MATLAB7.1编程，经过搜索得到一个最优解为：r1=2.99 cm,r2=3.59 cm,h=9.11 cm.

本设计的最大优点在于其富有个性的形状与人性化的手感设计.生活中，易拉罐饮料主要的消费人群为追求时尚与个性的青少年人群.从外形来看，这款新型易拉罐已经能吸引一大批青年消费者，再加上人性化的手感设计，将扩大该易拉罐的消费人群并使其能获得长久的市场占有率[5].如果制造商增强宣传力度，这种易拉罐带来的利润将更加可观，所以这种设计具有很好的实用价值.

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]龚三琼，王海舟.高等数学[M].南京：南京大学出版社，2009.

[3]刘卫国.MATLAB程序设计与实例应用[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4]赖维铁.人机工程学[M].武汉：华中科技大学出版社，2003.

[5]易正伟，严琳.消费心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

An Optimal Design for the Shape and Size of a Can

YI Jing-jing,JIN Jian
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

This paper discusses the optimal design for the shape and size of a beverage can.First,the authors of the paper measure the parameter of size of a common beverage can,set a static optimization model,and respectively figure out the best design of the beverage can when it is shaped to be the cylinder or the combination of frustum-of-a-cone and cylinder.Lastly,the authors take account of the factors such as outline,touch,artistic and so on,set a nonlinear programming model,and use the programs MATLAB to get the best design of a new can.

optimal model;static optimization model;nonlinear programming model

O172.1

A

1008-2794（2012）10-0051-04

2012-09-06

裔晶晶（1991—），女，江苏高邮人，常熟理工学院数学与应用数学专业2010级学生.

金健（1964—），男，江苏常熟人，研究方向：数学建模，E-mail:cumcm@cslg.cn．