基于Preisach理论的形状记忆合金温度－位移迟滞仿真研究

刘旺中，陈照波，侯守武，沈那伟，焦映厚

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 150001)

基于Preisach理论的形状记忆合金温度－位移迟滞仿真研究

刘旺中，陈照波，侯守武，沈那伟，焦映厚

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 150001)

智能材料如形状记忆合金(Shape Memory Alloy，SMA)已经广泛应用于驱动器和传感器的设计，实现定位和主动控制目的。然而，受迟滞影响，SMA驱动器的工作精度大大降低，限制了其应用。多数智能材料中，选择Preisach理论成为迟滞建模工具，近年来，也涉及到SMA材料系统。讨论运用Preisach模型描述SMA驱动器系统的迟滞行为，尤其针对驱动器系统的模型建立过程，修正经典Preisach模型的几何解释和数值实现方法。最后，引入Gobert给出的Preisach平面的辨识函数执行仿真计算，数值结果表明该模型能够很好地描述SMA驱动器的迟滞行为。

形状记忆合金;Preisach理论;迟滞;驱动器;参数辨识;Matlab程序;数值试验

迟滞现象常见于许多科学领域，如物理材料中的磁性材料，压电陶瓷和形状记忆合金等［1－2］。迟滞系统为典型的非线性系统，实际应用中，由智能材料形成的驱动系统，需要消除这类非线性，它的存在不仅降低系统的控制精度，还会产生与输入信号幅度相关的相位移和谐波失真，从而削弱闭环系统中的反馈作用，甚至造成系统的不稳定，因此完成迟滞非线性的建模十分重要［3］。

如图1所示，一个简单的迟滞结构可表示为简单的迟滞系统转换器X(t)、系统的输入信号u(t)及转换器的状态即输出信号x(t)的组合形式，假设迟滞函数是瞬时的，附加的动力学在x(t)和u(t)之间单独建立［4］。本文u(t)视为SMA丝驱动器的温度，温度的变化引起SMA材料的晶格相变，加热和冷却两个阶段，材料参数和状态变化不发生重叠，即具有迟滞效应，类似于图2中的曲线变化轨迹。这类迟滞转换器的输入－输出关系具有多分支非线性特性，分支结构的转换点发生在输入极值点处，迟滞状态的变化不仅受制于系统的输入－输出的瞬态值，而且还与系统输入的历史值有关［5］。

图1 迟滞系统的组成图Fig.1 Schematic representation of hysteretic systems

见图2，迟滞系统的特征表现为相同的输入可能会得到不同的输出，同样，相同输出也可由不同输入决定，输入－输出表现为多映射关系。O点为初始时刻的输入点值，对应输出为0，假设第一次输入到达t1时刻的A点，满足实际驱动器的输出饱和值，曲线OA形成系统的边界区域，称作迟滞曲线的主环;终点tn时刻的B点处于次环位置，同样输入u(tn)映射了系统的多值输出［6］。

图2 多个－分支非线性的迟滞例子，迟滞分支也被称为转换曲线Fig.2 An example of hysteresis multi－branching nonlinearity.Hysteresis branches are also called transition curves

依据描述迟滞效应不同的角度，系统模型可粗略划分为基于物理机理和唯象型，前者典型例子如广泛用于铁磁材料的Jiles－Atherton模型［7］，认为迟滞源于材料缺陷位置畴壁之间的相互牵制作用;后者如用于磁性材料迟滞描述的Preisach理论，模型具有较强的数学泛化能力，经典Preisach模型常用于描述率无关迟滞行为［8］;修正经典模型，考虑动力学行为的影响，描述更高阶迟滞，如 Moving Preisach 模型［9］、Generalized Preisach 广义模型［10］和动力学迟滞模型［11］。鉴于 Preisach理论的广泛应用和所表现出来的局部记忆性和次环全等性两个重要特性，探讨用于SMA丝驱动器的迟滞建模的原理和实现过程，为后续嵌入SMA丝驱动的应用系统分析和设计打下基础。

1 迟滞转换器的数学模型

1.1 Preisach模型

Preisach理论中，最基本的假设是将系统看作一组连续双稳态迟滞单元γαβ的权重并联总和，如图3所示。给定随时间变化的输入，影响所有迟滞单元的输出状态，输出值和μ(α，β)乘积之和提供系统的输出，μ(α，β)为 γαβ的权重系数［12］。

式中：权重函数μ(α，β)定义为Preisach分布函数，形成的函数集合 μ(αi，βi)描述了迟滞单元(αi，βi)对系统输出的贡献量。

为所有基本迟滞单元施加相同输入值u(t)，单元输出与权重函数μ(α，β)乘积，即等价于区域内的双重积分得到系统输出。

1.2 Preisach模型的几何说明

图4中的平面S上每一点(αi，βi)有一特别的基本迟滞算子 γαiβi，表明迟滞单元 γαβ与(α，β)点之间的一一对应关系。平面 S称为Preisach平面，γαβ记为Preisach单元，多数研究将迟滞单元表示成输入－输出的矩形环形式，双稳态参数分别记为数值量“+1”和“－1”，S 平面外，γαβ值均为“0”，则单元的输出状态也为零;输出状态量由系统输入控制，单元符号α和β表示输入值的“上”和“下”。变化的输入极值点形成的折线L(t)将三角区域平面S划分成S+和S－，分别包含不同状态的离散迟滞单元点及对应的权重函数值;这个三角图形S平面的顶点坐标，表示输入u(t)的最大值。

2 SMA丝驱动器的温度－位移迟滞

2.1 模型建立

考虑SMA丝驱动器中的迟滞曲线的形成，为简单起见，将SMA驱动器所需驱动源的温度量作为系统输入u(t)，x(t)为输出位移，当温度值为零时，系统输出也为零;值得注意的是，SMA实际温度值不为零，表现为自然环境的温度值T∞，温度值为零的状态标记无外界能量输入的起始点。如图5(a)，随着输入单调增加到α1值，激活部分迟滞算子，开关值α小于α1的单元输出状态显示为“+1”;几何意义上，形成状态不同的区域集合，将三角平面S划分成两个区域：S+由点(α，β)构成，对应单元输出值为+1和区域S－，迟滞单元由状态输出值“－1”的集合构成。两区域之间的界面为α=u(t)+β直线，由图4中的符号L(t)表示，运动方向朝上，直至α1到达最大值时，运动停止。

如图5(b)，输入值从α1单调下降到某个值β1，所有在集合S+(t)带有β开关值大于β1的迟滞算子转换为“－1”值，进入S+区域，S+和S－两个区域之间由两个分界线连接。随着温度从α1到β1单调减少，形成界面处的斜线形式为β=u(t)－α。当输入达到β1的最小值，斜线运动终止;图5(c)，记录下一步的两组输入变化值。由图5给出的Preisach理论的几何解释表明Preisach平面上阴影和空白部分面积所构成的集合值反映了系统输入信息变化。

图5 基于Preisach理论的SMA迟滞的几何表示Fig.5 Geometrical interpretation of the SMA hysteresis based on Preisach theory

从上述分析可知，对应增加和减少输入两类情形，得到以下结论：任意瞬时，三角区域S被分割成两组：S+(t)和S－(t)，分别包含不同状态值“+1”和“－1”的迟滞算子单元;连接S+(t)和S－(t)区域的是一条规则阶梯线，记录不同的α和β坐标，坐标点值包含着历史输入中的局部最大值和最小值的瞬时信息。

因此，任意瞬时，利用区域S+和S－的定义，输出方程(1)的积分式可写成：

其中：任意(α，β)∈S－(t)，γαβ［u(t)］= －1 和对于任意(α，β)∈S+(t)，γαβ［u(t)］=+1，S=S++S－。

式(2)表明Preisach模型的输出大小与三角区域S的划分动态相关，函数L(t)定义了实时更新的界面信息，记录历史输入的极限值［13］。

2.2 数值实现

经典的Preisach模型直接用于SMA丝驱动器迟滞的表达，会遇到很多困难。首先，估计式(1)和式(2)中的双重积分;其次，决定Preisach平面的迟滞算子γαβ数量和获得相应的Preisach分布函数μ(α，β)等;这些问题导致模型的执行程序和处理过程不但消耗计算资源，不符合实时控制要求，且带来较大的累积误差，其中，权系数的辨识函数的要求也更加苛刻。文献［14］表明，直接处理经典的Preisach理论模型的数学公式，以参数辨识方法找到等价函数形式，可有效解决上述问题，且由于减少求导获取权函数的环节，不仅可以减少数值计算误差，且简化了Preisach模型的处理。

按照文献［15］的迟滞模型辨识方法，求解等价函数的基本思路为，定义等价函数：

其中：xα1是从负饱和值单调上升到当前值α1时的系统输出，xα1β1是从 α1值减少至 β1(β1＜ α1)时的系统输出。迟滞环中，定义上述形式的一次单调升降的曲线为一阶转换曲线(First Order Descending Curves，FOD)，根据SMA丝驱动器的输入－输出量设计，曲线形成过程如下：输入温度是从零单调增加至设定值α1，然后减少至某个大于零的值β1;“一阶”隐含单个曲线成形于系统输入的一次反向的特点，等价函数则定义为这组曲线的输出增量。

事实上，如图6所示，区域S(α1，β1)的积分等于当前值α1和β1的迟滞输出的差值。

图6 Preisach理论数值与迟滞曲线的对应关系Fig.6 The relations between hysteresis and Presiach theoretical value

将集合S+(t)划分成n(t)个梯形点Tk，显然，结果由式(5)的数学表达式计算，n(t)表示梯形点数量，以时间的函数的形式记录着动态变化的极值点集合的更新，如图5中所示。

每个梯形点Tk可表示为两个三角S(Mk，mk－1)和S(Mk，mk)的差值，其中Mk和mk表示输入历史的最大和最小值点，因此，

联立上述表达式，离散的等价函数所表示的迟滞非线性的输出x(t)为：

需要注意的是，传统的Preisach模型关于原点对称，但在SMA丝输入温度是高于环境温度，为正值，与磁性材料不同，不满足原点对称性质，需要引入一个偏置项，满足当系统输入处于负饱和值时，系统输出为零。

式中：xsat+和xsat－分别表示输出的极限饱和值，umax和umin分别对应最大和最小的输入值。

3 仿真试验

3.1 SMA迟滞模型

根据已有研究，所给出的SMA丝驱动器各变量之间的作用关系如图7所示，相变机制引起的马氏体相变，导致SMA材料复杂的热力学行为［16］。定义马氏体体积分数(ξ)为内部状态变量，为外部应力和温度的作用函数，正逆相变过程中，体积分数的变化函数不同，导致材料的参数变量之间的路径差异，即迟滞现象，定义温度与驱动器位移输出之间的迟滞关系，即是下一节的研究重点，间接反映了SMA驱动器的输入电流与应变的关系。

图7 SMA参数迟滞示意图Fig.7 Schematic view of hysteresis among SMA variables

3.2 等价函数辨识

文献［17］提出了从试验数据决定Preisach权重表面函数的辨识技术。首先，测试得到SMA丝驱动器的输入输出数据点集，生成一系列“FOD”曲线;根据SMA丝驱动器的迟滞曲线的主、次环形式，定义辨识函数的参数形式。由一系列数据温度点，得到的稳态位移输出数据，形成FOD数据组，通常，所得到的FOD曲线为三维形式，则拟合函数也需满足三维形式。根据上一节的讨论，省略权重函数的辨识环节，直接将Preisach平面分布函数结果，代入递推式(10)得到迟滞系统的输出。

根据经验，指数类型函数可用于FOD曲线的拟合，文献［18］给出用于表示SMA的主迟滞曲线的指数函数;文献［19］引用同样形式的函数得到次迟滞环行为，并取得了很好的匹配效果。Gobert从耗散理论及稳定性角度讨论SMA驱动器的迟滞建模及其控制，且基于试验数据得到多种类型驱动方式下的SMA丝驱动中的Preisach平面函数，较好地描述SMA丝驱动器的非线性迟滞行为，本文引用其中的函数定义式(11)，相关变量和数字定义见文献［20］。

等价函数是辨识过程的结果，对所需建模的系统执行测试试验，收集辨识数据。根据SMA丝热驱动的特点，变化的温度作为输入，按照频率要求，可动态测试驱动器的稳态位移输出。设计以下的输入温度序列：

基于温度的SMA驱动器，可以选择任意的输入参考值，如环境温度。Preisach平面的“零”表示对应这个参考的输入值，Preisach温度输入为T－T∞。由测试数据形成的FOD曲线，如图8所示，数据曲线的多少由输入温度点的设置最大数决定，由一系列FOD曲线，可以得到迟滞系统数值实现的等价函数F(α，β)。

图8 SMA迟滞建模的辨识函数解释Fig.8 Explanation of identified functions for SMA hysteresis

图9 Preisach平面拟合曲面Fig.9 Preisach plane surface fitting

由图8的FOD曲线形成辨识的离散数据点集，在温度序列各点形成的稳态位移输出，构成三维数据点，文献中根据这个数据点辨识得到图9的等价函数曲面形式。

3.3 迟滞仿真

根据FOD数据测试试验和辨识方法得到的等价函数，编制Matlab环境中程序，建立SMA丝驱动器的温度－位移的迟滞模型如图10所示。观察形式如图10(a)的衰减正弦信号作用下，驱动器的迟滞表现能力，从图10(b)可以看出，Preisach理论能够表现系统的迟滞关系，并且充分体现次迟滞环的作用，在建模过程中，省去权重函数的辨识过程，直接利用等价函数，按数值递推公式(9)构建的迟滞框架是有效的，且引入式(10)中的偏置项，能够很好解决经典Preisach理论开发的应用于磁性材料的对称特性，SMA丝驱动器驱动输入都为正值，且输入起始点温度值为T∞以上。

图10 基于Preisach理论的迟滞模型Fig.10 Preisach－based hysteresis model

4 结论

Preisach理论是一种针对迟滞特性的通用数学工具，本文利用该算子建立了形状记忆合金作动器输入温度与输出位移关系模型。讨论了模型实现方法和建模过程，给出了模型的离散递推方法，避免了传统Preisach模型中先求解权系数，以及最后求和计算中的双积分式，使得计算简化，便于实际应用中的实时控制。最后采用Robert给出的Preisach平面辨识函数，即等价函数形式，利用Matlab软件编制迟滞模型程序，表明Preisach模型能较好地模拟记忆合金驱动器的迟滞特性，且说明了次环的作用。

［1］Tan X B，Baras J S.Modeling and control of hysteresis in magnetostrictive actuators［J］.Automatica，2004，40：1469 －1480.

［2］ Tzen J J，Jeng S L，Chieng W H.Modeling of piezoelectric actuator for compensation and controller design［J］.Precision Engineering，2003，27：70－86.

［3］He Y Y.Preisach hysteresis modeling for piezoceramic actuator systems［D］.University of Toledo，Canada，2000.

［4］Zhang W.Modeling and control of magnetostrictive actuator［D］.University of Kentucky，USA，2005.

［5］Kyoung K A，Nguyen B K.Modeling and control of shape memory alloy actuators using Preisach model，genetic algorithm and fuzzy logic［J］.Mechatronics，2008，18：141 －152.

［6］Natale C， Velardi F， Visone C. Identification and compensation of Preisach hysteresis models for magnetostrictive actuators［J］.Physica B，2001，306：161 －165.

［7］Jiles D C，Atherton D L.Theory of ferromagnetic hysteresis［J］.Journal of Magnetism and Magnetic Materials，1986，61(1－2)：48－60.

［8］Davino D，Natale C，Pirozzi S. A fast compensation algorithm for real－time control of magnetostrictive actuators［J］.Journal of Magnetism and Magnetic Materials，2005，290－291：1351－1354.

［9］ Della T E.Preisach modeling and reversible magnetization［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1990，26(6)：3052－3058.

［10］ Mayergovz I D，Frienman G.Generalized Preisach model of hysteresis(invited)［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1988，24(1)：212－217.

［11］ Nguyen B K，Ahn K K.Feedforward control of shape memory alloy actuators suing fuzzy－based inverse Preisach model［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2009，17(2)：434－441.

［12］ Tang Z F，Lü F Z，Xiang Z Q.Hysteresis model of magnetostrictive actuators and its numerical realization［J］.Journal of Zhejiang University Science A，2007，8(7)：1059－1064.

［13］ Gorbet R B，Wang D W L，Morris K A.Preisach model identification of a two－wire SMA actuator［C］.Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics＆ Automation，Leuven，Belgium，1998：2161－2168.

［14］ Hong H.Compensation of hysteresis in piezoceramic actuators and control of nanopositioning system ［D］.University of Toronto，Canada，2003.

［15］ Kwan J J，Woo P Y.Hysteresis modeling and compensation in a magnetostrictive actuator［C］.International Conference on Control，Automation and Systems，Seoul，Korea，2008：483－487.

［16］张雨烨，阎 石，Song G B，等.基于Preisach理论形状记忆合金电阻－应变滞回模型［J］.振动与冲击，2008，27(8)：146－148.

［17］Mayergoyz I D.Mathematical Models of Hysteresis［M］.Springer－Verlag，New York，1991.

［18］Ikuta K，Tsukamoto M，Hirose S.Mathematical model and experimental verification of shape memory alloy for designing micro actuators［C］.IEEE Micro－Electro－Mechanical Systems Conference，1991：103 － 108.

［19］Madill D R，Wang D W L.The modeling and L2－stability of a shape memory alloy position control system［C］.IEEE International Conference on Robotics and Automation.IEEE Computer Society Press.Los Alamitos，California，1994，1：293－299.

［20］ Gorbet R B.Control of hysteretic systems with preisach representations［D］.Waterloo university，Canada，1997.

Simulation on modeling of temperature-displacement hysteresis in SMA based on Preisach theory

LIU Wang-zhong，CHEN Zhao-bo，HOU Shou-wu，SHEN Na-wei，JIAO Ying-hou
(School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

Smart materials such as shape memory alloys(SMA)are being widely used as actuators and sensors to achieve positioning and active control purposes.However，a major limitation of SMA actuators is their lack of accuracy due to hysteresis.The Preisach theory has emerged as a modeling tool for many smart materials and has recently been applied to the modeling of SMA material systems.The adaptation of the Preisach model to describe the hysteresis behavior of SMA actuator system was discussed and a modified geometric interpretation and numerical implementation method for the classical Preisach model were presented，especially for the hysteresis modeling of SMA actuator system.Finally，one of the assumed functions in Presiach planes given by Gobert was introduced to implement the simulation.Numerical results show that the model can better describe the hysteresis in SMA.

shape memory alloy;Preisach theory;hysteresis;actuator;parameter identification;Matlab code;numerical realization

TH39

A

国家自然科学基金项目(10972065)

2011－01－28 修改稿收到日期：2011－08－03

刘旺中 男，博士，1982年4月生