软绳从桌面或滑轮上滑落问题的深度分析

曲显林

(上海市闸北区第八中学 上海 200443)

软绳从桌面或滑轮上滑落问题在中学物理习题中比较常见，很多教师都会把这两类问题作为典型例题,但是对这类题目的分析过程通常不够科学、严谨.文章就这两类问题做深度分析.

1 转角处摩擦力能够忽略吗

【例1】(西安市1991年高中物理竞赛试题)如图1所示,一根长为1 m的匀质柔软链条,一部分垂在桌沿下面,一部分放在桌面上,垂下部分的最大长度为0.2 m，则链条与桌面间摩擦因数为______；若此时稍有扰动链条就会滑离桌面,当链条全部滑出桌面时的速度为______(g取10 m/s2).

图1

原解：设链条单位长度的质量为ρl；分别用L和l表示整个链条的长度和垂下部分的最大长度，用v表示链条全部滑出桌面时的速度.

链条垂在桌沿下面部分的重力为G1=ρlgl，桌面上的部分重力为G2=ρlg(L-l)， 整个链条质量为m=ρlL，则对整个链条有

ρlgl=μρlg(L-l)

代入数据得

链条在逐渐滑离桌面的过程中，在桌面上的部分所受的摩擦力与其在桌面上的长度成正比，由能量守恒定律得

代入数据得

上面的分析过程中没有考虑转角的摩擦力，可能是考虑到转角很小，此处摩擦力及摩擦力做的功均可忽略不计.类似的例子在同类问题中很普遍.

【例2】水平桌面上放着一根伸长的均匀柔软绳,绳的一端挨着桌面上的一个小孔.绳长为L，质量为m.一根轻绳通过小孔与绳头相连接，下端悬挂着一个质量为m的物体，如图2.开始时用手按着柔软绳尾使它保持静止，然后放开手让其运动.设绳与桌面间的摩擦因数为μ，求绳尾滑到桌上的小孔时，绳和物体的速度大小.

图2

这一结果也是运用能量守恒定律,忽略在转角处摩擦力做的功时得出的.

有什么理由忽略转角处的摩擦力及摩擦力做功呢？在运用物理规律解决实际问题的时候，原则上是可以忽略一些次要的因素，做近似处理，前提是忽略的必须是相比之下不在一个数量级的小量，但不能人为地略去相比之下在同一个数量级的量.那么,软绳在转角处的摩擦力与桌面上的部分相比是否可以忽略？如果计算过程漏掉了转角处的摩擦力对计算结果会有多大影响呢？

为了弄清上面的问题，可先研究一下缠绕在圆柱上的绳子两端张力之间的关系.假设，有一条轻绳缠绕在半径为R的圆柱上，绳子和柱子之间的摩擦因数为μ，绳子与圆柱接触部分的弧所对应的圆心角为θ0.设在绳子的A端施加拉力TA后,为使绳子恰好不发生滑动需在B端至少加拉力为TB，如图 3 所示. (显然TA>TB)

图3 图4

绳子绕到柱子上后，因为摩擦力的累积作用TA和TB的关系会随绳与柱子之间相互接触长度的变化而变化.先在绳子上取一段微圆弧，对这段圆弧进行受力分析.如图4所示，考虑θ角处所对应的圆心张角dθ的一段绳子dl.绳子的重力可以忽略，该微元绳段共受到四个力的作用，微元两端的张力T(θ)，T(θ+dθ),法线方向圆柱对绳子的支持N，绳子与柱子之间的摩擦力为f=μN，微元处于平衡状态;其法线和切线方向的分力分别为

(1)

(2)

因为 dθ很小，可以做如下近似处理

T(θ+dθ)+T(θ)≈2T

所以，式(1)变为

T(θ+dθ)-T(θ)+μN=0

(3)

所以

令T(θ+dθ)-T(θ)=dT，上述(2)、(3)两式可改写为

dT=-μN

(4)

Tdθ=N

(5)

解式(4)、(5)可得

(6)

对式(6)积分可得

(7)

或TB=TAe-μθ0

(8)

可见，在绳子的一端施加一拉力后，因为摩擦力的作用，绳子另一端的力随θ的增加呈指数关系衰减.

图5

TB=f=μ(L-l)ρlg

(9)

桌面下的一段有

TA=lρlg

(10)

对小圆弧有

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

从这个方程很难解出μ，但可以运用Excel 强大的计算功能,采取逐渐逼近的方法找出符合精度要求的μ值.

表1 μ步长为0.05的数据

表2 μ步长为0.01的数据

表3 μ步长为0.001的数据

通过上面的分析发现，原来对例1的解题过程错误的原因为有两点.

第一，转角虽然小，但弹力并不小;所产生的摩擦力足可以与平面上相比.

第二，同样的原因也说明转角虽然小但摩擦力做功并不少;忽略转角处的摩擦力做功，计算出的速度明显要比实际速度大.

至于链条全部滑出桌面时的速度计算起来比较困难，因为桌角处的摩擦力变化远比桌面上的部分摩擦力变化复杂，摩擦力所做的功很难计算.

2 绳子能自始至终紧靠桌角和滑轮吗

在中学物理习题中还有一类是让绳子在光滑的接触面或者光滑的滑轮上滑动,求绳子刚离开接触面或滑轮时的速度问题.光滑的接触面虽然实际并不存在，但中学物理可以在这样理想的假定下研究问题.

图6

【例3】如图6所示,一根长为L的匀质软绳AB，拉直后垂直于桌边放置在光滑的水平桌面上，A端恰好与桌边对齐.此时轻轻向外扰动一下软绳，它就会逐渐滑离桌面.求当软绳刚好全部滑出桌面时的速度.(g取10 m/s2)

原解：设链条质量为m，用v表示链条全部滑出桌面时的速度.由机械能守恒定律得

则

图7

【例4】如图7所示，粗细均匀、全长为h的铁链，对称地挂在质量可忽略的光滑小定滑轮上.受到微小扰动后，铁链从静止开始运动，当铁链脱离滑轮的瞬间，其速度为多大？

故

对例3与例4的分析过程是被普遍认可的.可是仔细想一想就会产生一个疑问:例3中绳子会一直沿着桌角,例4中绳子会一直贴着滑轮滑动吗？如果绳子在滑动到某一位置时便离开了桌角、滑轮，上面的解答过程不就错了吗?

FA+Δmgsinθ-FB=Δma

(16)

因Δm极小，所以FA≈FB.令

FA=FB=F

(17)

图8

(18)

(19)

(20)

(21)

图9

桌上部分F=ρl(L-x)a

(22)

桌下部分ρlxg-F=ρlxa

(23)

(24)

由机械能守恒定律，得

(25)

(26)

图10

同理，搭在滑轮上的绳子也不会一直贴紧滑轮滑动，在适当的位置也会脱离滑轮.

现在分析例4中，铁链下落多少时会脱离滑轮，脱离滑轮的瞬间，其速度到底有多大.

图11

(27)

(28)

设滑轮所在处绳的张力为F，绳的加速度大小为a,由牛顿第二定律，对绳子右侧有

(29)

对绳子左侧有

(30)

解得

(31)

将式(20)和式(17)代入式(21)得

(32)

将式(32)代入式(28),得

我们可以在完全理想化的条件下研究问题;例如,假定桌面与桌边和滑轮都是光滑的;但不能同时假定绳子一直紧贴着桌边或滑轮滑下，这是个伪命题.因此，在假设了桌面、桌边和滑轮都是光滑的之后，绳子在这种理想化的环境下，是否会一直贴着桌边或滑轮滑动？滑动过程绳子的形状怎样?不能人为假定，而应由物理规律决定.