“小球竖压弹簧”模型的深层探讨

吴锋

(衢州第一中学 浙江 衢州 324000 )

所谓“小球竖压弹簧”模型，就是小球从高处落下并压缩竖直固定放置弹簧的运动模型.这个模型涉及多个运动过程，具有考查频度大、知识综合性强、能力要求高的特点，是高考命题与模拟的热点课题，可以从力与运动、功与能量、图像与应用等角度，全方位考查学生的力学综合素养与思维分析能力.

1 运动角度的深层探讨

【例1】 如图1所示,小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上,则从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中,下列叙述中正确的是

A.小球的速度一直减小

B.小球的加速度先减小后增大

C.小球加速度的最大值一定大于重力加速度

D.在该过程的位移中点上小球的速度最大

图1 图2

点评：本题从力和运动角度考查了“小球竖压弹簧”模型物理量的变化，同时也考核了简谐运动的相关知识,具有考查知识点深、范围宽广、综合性强、干扰性强的特点.

【例2】如图3(a)所示，劲度系数为κ的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放，落在弹簧上后继续向下运动到最低点的过程中，小球的速度v随时间t的变化图像如图3(b)所示，其中OA段为直线，AB段是与OA相切于A点的曲线，BCD是平滑的曲线.若以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，则关于A,B,C,D各点对应的小球下落的位置坐标x及所对应的加速度a的大小，以下说法正确的是

A．xA=h，aA=0

图3

图4

解析：由v-t图像中OA为直线，可知小球OA段做自由落体运动，在A位置有xA=h,aA=g，选项A错误.小球在A-D段是以B为平衡位置的简谐运动，在B位置重力等于弹力，A与C关于B对称，各点位置如图4所示，加速度关系有

aB= 0aC=aA=gaD>aC

长度或坐标关系有

故选项B,C正确,D错误.

点评：本题借助“小球竖压弹簧”模型的v-t图像，着重考查了小球在特殊位置的受力情况以及加速度大小关系，运用胡克定律、牛顿第二定律及简谐运动便可定量求解.

2 能量角度的深层探讨

【例3】如图5(a)所示,小球从高处自由下落到竖直放置的轻弹簧上，其运动v-t图像如图5(b)所示(速度向下为正方向),下列叙述中正确的是

A．在t2与t4时刻小球机械能均达到最大值

B．0～t1与t5～t6这两段时间内，小球的机械能守恒

C．t1～t3这段时间内，小球重力势能和弹簧弹性势能之和先减小后增大

D．t1～t5这段时间内，小球动能和弹簧弹性势能之和先增大后减小

图5

图6

解析：由v-t图像可知，O,f为小球下落起始位置，a,e位置为小球与弹簧接触临界点，在b,d位置弹力等于重力，c为小球下落最低位置，其运动过程如图6所示.在t2与t4时刻小球在b位置动能达到最大值，但部分机械能转化为弹性势能，选项A错误.0～t1与t5～t6这两段时间内，小球在空中oa段运动，只受重力作用其机械能守恒，选项B正确.由于该系统机械能守恒，小球重力势能和弹簧弹性势能之和与小球动能变化相反，小球动能和弹簧弹性势能之和与小球重力势能变化相反，在t1～t3时间内小球动能先增大后减小,在t1～t5时间内小球重力势能先减小后增大，故选项C正确,D错误.

点评：本题考查了“小球竖压弹簧”模型中单个物体能量变化、系统机械能守恒、几种形式能量的总量变化，对能量做了比较全面的考查.

【例4】 (2010年高考福建理综卷)如图7(a)所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图7(b)所示，则

A．t1时刻小球动能最大

B．t2时刻小球动能最大

C．t2～t3时间内，小球的动能先增加后减少

D．t2～t3时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能

图7

解析：0～t1时间内，小球做自由落体运动，故弹簧弹力为零．t1～t2时间内，小球压缩弹簧，当弹力等于重力时，小球速度最大，在此时刻之前，小球做加速度减小的加速运动，之后做加速度增加的减速运动，t2时刻减速到零．t2～t3时间内，小球向上先加速运动后减速运动．故A,B,C三选项中，只有选项C正确．t2～t3时间内弹簧减少的弹性势能转化为小球增加的动能和重力势能之和，故选项D错误．

点评：本题巧妙地从弹簧弹力F-t图像角度，考查“小球竖压弹簧”模型的能量变化及转化情形.明晰不同时间段几个对应的运动过程，是顺利分析各种能量间变化关系的关键.

3 应用角度的深层探讨

【例5】(2011年高考新课标全国卷)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是

A．运动员到达最低点前重力势能始终减小

B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加

C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒

D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关

图8

解析：蹦极运动其示意图如图8，运动员从O点自由下落，至b点弹性绳自然伸直，经过合力为零的c点到达最低点d，受力和运动与“小球竖压弹簧”模型相似.运动员到达最低点前重力势能始终减小，重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，所以，选项A正确,D错误.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力向上做负功，弹性势能增加，选项B正确.蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒，选项C正确.

点评：蹦极运动是“小球竖压弹簧”模型的生活实例.画出运动过程的草图，是求解功能问题的前提.

【例6】蹦床是儿童喜欢的一种游戏，一小孩在蹦床上玩耍，他要从高处落到蹦床上后又被弹回，下图中能正确表示出小孩在此过程中加速度随时间变化情况的曲线为

解析：蹦床运动示意图如图9，其运动模型就是“小球竖压弹簧”模型.小孩从O点自由下落，至b点接触蹦床，经过合力为零的c点到达最低点d.O-b做自由落体运动，加速度恒为g，b-c做加速度减小的加速度运动，到c点加速度减小到零，此后加速度反向，c-d做加速度增大的减速运动，到d点加速度达到最大值，然后返回，各位置加速度相同.选项C正确.

图9

点评：蹦床运动实质为 “小球竖压弹簧”模型又一生活实例.此类问题借助运动过程如图9所示，进行受力分析，关注4个特殊位置和3个过程，对掌握运动中各物理量的变化及功能关系很有帮助.