新型期权模型研究

程凤林

（衡水学院数学与计算机学院，河北 衡水053000）

本文介绍了两种新型期权定价模型，分别是篮子期权和亚式期权.篮子期权通常比单个资产期权的总价值便宜，它是多种标的资产的一个投资组合的期权.亚式期权又称为平均价格期权，是股票期权的衍生，是在总结真实期权、虚拟期权和优先认股权等期权实施的经验教训基础上推出的.对于篮子期权和亚式期权定价理论的研究都具有重要的现实意义.

1 篮子模型

作为一种新型出现的期权形式一篮子期权 （Basket Options）从本质上说是多种标的资产的一个投资组合的.它的收益是根据其标的资产的加权平均价格所决定的，一篮子期权它对投资费用的利用效率较之单个期权更为高效.

下面将使用Mellin变换方法［1］在Black－Scholes模型框架下研究在常值波动率及无风险利率下，求解和分析一篮子期权的定价模型.第一步，要在满足Black－Scholes模型推导的假设条件下建立欧式一篮子期权的定价模型.

一篮子期权就是关于多个标的资产的投资组合的期权，令si（T）（i＝1，L n）表示n种证券价格，μi（i＝1，L n）表示第i种证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率，σi（i＝1，L n）表示第i种证券收益率单位时间的方差，K表示期权的执行价格，t表示现在时刻，T表示期权的到期时刻，V＝V（s1，s2，L sn，t）表示期权的价格.则欧式一篮子看跌期权的到期收益（即期权在T时刻的价值）为：V＝｛K－

这里si（T）（i＝1，L n）表示第i种证券，ωi≥0表示第i种证券的权重，且 ＝1.

假设标的资产价格过程si在一个过滤的概率空间（－；F；F；P¤）上服从几何布朗运动，也就是说，d si＝siμid t＋siσid zi，这里d zi（i＝1，L n）是n个维纳过程，且cor（dzi，dzj）＝ρij（i，j＝1，L n）且i≠j.

假设V 是基于si（T）（i＝1，L n）的某个看跌期权或其它期权的价格，根据ITO定理［2－4］得到：

对于到期日为T，执行价格为K的欧式看跌期权，结合其边界，得到欧式一篮子看涨期权的定价模型为：

2 亚式期权

它最早是由美国银行家信托公司 （Bankers Tr ust）在日本东京推出的.亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一，与通常意义上股票期权的差别是对执行价格的限制，其执行价格为执行目前半年二级市场股票价格的平均价格.与标准期权的区别在于：在到期日确定期权收益时，不是采用标的资产当时的市场价格，而是用期权合同期内某段时间标的资产价格的平均值，这段时间被称为平均期.在对价格计算平均时，可采用两种平均法，分别为算术平均和几何平均.

以I1（T）为例对于平均价格型亚式看涨期权，T时刻其价值为：

其看跌期权价值为｛K－I1（T）｝＋；而平均执行价格型亚式看涨期权T时刻的价值为：｛sT－I1（T）｝＋，其看跌期权价值为 ｛I1（T）－sT｝＋.

下面以算术平均价格的平均价格型亚式看涨期权为例来建立定价模型.假设V＝V（s，t，I）是基于算术平均价格的平均价格型亚式看涨期权的价格，这里I＝tI1（t），显然有＝sI.且股票价格的变化过程可以用普通布朗运动描述，即：d s＝sμd t＋sσd z.

在dt（dt趋于0）时间后，该投资组合的价值变化为：d∏＝－.得到：

结合无套利原理，得到Black－Scholes期权定价模型：

对于到期日为T，执行价格为K的欧式看涨期权，结合其边界，得到算术平均价格的平均价格型亚式看涨期权的定价模型：

3 结 语

本文介绍了两种新型期权定价模型及其建立过程.一份一篮子期权要比一篮子单个期权在费用上更有效率，而亚式期权作为一种新型期权，对新型定价模型的研究将使得金融市场更加有效率，它将加强市场与市场参与者的相互依赖.由于投资者对其投资最大化的要求和投资组合分散化日益增长的要求，建立新型期权定价模型具有较大的现实意义.

［1］ Panini R.Srivastav RP.Option pricing with Mellin transforms［J］.J Mat h Co mp Modell，2004，40：43－56

［2］ Wilmott P，Howynne S.The Mathematics of Financial Derivatives ［M］.London：Cambridge University Press，1995，58－67

［3］ 杨启帆，方道元.数学建模 ［M］.浙江大学出版社，2003：34－47

［4］ 程凤林，李乐.Mellin变换在推广的欧式期权定价中的应用 ［J］.衡水学院学报：自然科学版，2011，13（04）：95－97

［5］ 程凤林.Mellin变换在欧式期权定价中的应用 ［J］.衡水学院学报：自然科学版，2009，11（04）：18－20

［6］ 袁博，张贺，张艳红.改进投资组合模型的一种可行性解法 ［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2008，3：74－76