求解扩展的Sylvester共轭矩阵方程＊

郭晓霞，郭培昌

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

求解扩展的Sylvester共轭矩阵方程＊

郭晓霞，郭培昌

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

研究扩展Sylvester共轭矩阵方程及更一般形式复矩阵方程的解，利用复矩阵的实形式方法得到求解方程的迭代算法。数值例子展示了该算法的有效性。

实形式；扩展的Sylvester矩阵方程；解

在稳定性和控制理论中，矩阵X－AXB＝C，AXXB＝C和AXB＋CXD＝F有重要的应用［1－2］。借助于复矩阵的实形式，复矩阵方程X－AB＝C的求解和解的存在性、连续性得到了好的结果［3］。类似于文献［3］中的复矩阵实形式方法，文献［4］给出了矩阵方程AX－B＝C的解的表达式。另外，文献［5－6］给出了求解实矩阵方程AXB＝F最小二乘解的有限步迭代算法。最近，文献［7］研究了一类扩展的Sylvester共轭复矩阵方程AXB＋CD＝F，给出了一个有限步迭代算法求解连续的扩展Sylvester共轭矩阵方程。但是这个算法在迭代过程中涉及复数运算，每一步需要对若干矩阵求共轭。本文将利用复矩阵的实形式，给出复矩阵方程AXB＋CD＝F的等价实形式，推导这类方程的新求解算法。本文的思路与文献［7］不同，新算法在迭代过程中避免了复数运算。另外，新算法也可以推广到更一般的复矩阵方程上。文中的2个数值例子展示了该算法的有效性。文章中符号tr（A），AT，AH和分别表示矩阵A的迹、转置、共轭转置和共轭。‖A‖表示实矩阵A的Frobenius范数，‖A‖＝

1 实矩阵方程

其中，A，C∈Rm×r，B，D∈Rs×n，F∈Rm×n是已知矩阵，X∈Rr×s是未知矩阵。文献［7］给出了下面的求解方程（1）的迭代算法：

给定初值x（0），令

k∶＝0，计算

k＝k＋1；重复上述迭代直到R（k）＝0或R（k）处于误差允许范围内。

文献［7］证明了下面3个引理，这里转述引理内容，详细证明可以参看文献［7］。

引理1 假定扩展Sylvester共轭矩阵方程（1）连续并设X＊是方程的解。那么，对任意的初始矩阵X（0），上述迭代所产生的序列X（i），R（i）和P（i）满足

引理2 给定任意初始矩阵X（0），如果矩阵序列X（i），R（i）和P（i）按上述迭代方法产生，并且存在整数l≥1使得R（i）≠0对i＝0，1，…，l成立，则

引理3 如果扩展Sylvester共轭矩阵方程（1）连续，那么对于任意的初始矩阵X（0），按照上面的方法经过有限步迭代可以得到方程的解。

2 复矩阵的实形式

如果初始矩阵A∈Cm×n，那么A可以被唯一地写成A＝A1＋A2i，A1，A2∈Rm×n，i2＝－1，定义复矩阵A的实形式为

令

其中Ij是j×j单位矩阵。文献［3］叙述了复矩阵实形式性质，简单的计算可以验证下述引理成立，这里不再给出其证明。

在将复矩阵方程转换成等价实矩阵方程时，上述引理是有用的。

3 扩展Sylvester共轭矩阵方程

这部分将利用复矩阵的实形式研究复矩阵方程

定义方程（2）的等价实矩阵方程为

是方程（2）的解。

证 这里只证明必要性。

随着世界工业的飞速发展，物流和供应链的持续改进成为众多企业关注的焦点之一，智能物流是工业4.0的基石，工业4.0不仅仅是生产环节实现智能化，更是生产与物流高度融合，对于物流方的高效、柔性提出了更高要求。SEW作为德国制造的典型代表，秉承“追求卓越，精益求精”的企业精神，除了为用户提供先进的传统传动设备外，近年来在物流行业的创新发展也是大放异彩。

是方程（4）的解，那么（5）给出的矩阵X是（2）的解。事实上，因为，所以（4）式可写成

也是方程（4）的解。将（6）代入（8）并计算整理，容易得到

从等式（9）出发，可以按如下方式构造复矩阵

算法1 （方程（2）的实形式算法）

〈2〉给定初始矩阵Y（0），计算

〈3〉如果R（k）处于误差允许范围内，则终止迭代，否则计算

〈4〉k＝k＋1；转〈3〉

〈5〉输出

4 更一般形式复矩阵方程

考虑下面更一般形式的复矩阵方程

这里

…，q和F∈Cm×n是已知矩阵，X∈Cr×s是未知矩阵。给出这个复矩阵方程相应的实形式

当矩阵方程（10）连续时，通过推广求解矩阵方程（2）的算法1，不难得到有限步迭代求解（10）的算法。参照定理1，容易证明下面的结论。

是方程（10）的解。

5 数值实验

这一部分选取文献［7］中数值例子进行实验，并比较本文新算法与文献［7］中算法的数值结果。

例1 考虑方程（10）形式的Sylvester共轭复矩阵方程，

该方程的解是

取X（0）＝10－6ones（2），应用文献［7］中的算法得到X（k），然后取初值Y（0）＝10－6ones（4），应用本文新算法求解方程。其中ones（2）表示元素全为1的2阶矩阵，ones（4）表示元素全为1的4阶矩阵。表1展示了2种迭代的结果。

表1 2种算法的迭代结果Table 1 Iterative results for two algorithms

例2 考虑下述复矩阵方程

其中

这个方程的解是

表2 2种算法的比较Table 2 Comparison of two algorithms

［1］ Barnett S，Storey C.Matrix Methods in Stability Theory［M］.London：Thomas Nelson ＆Sons Ltd，1970.

［2］ Barnett S.Matrices in Control Theory with applications to Linear Programming［M］.New York：Van Nostrand Reinhold，1971.

［3］ Jiang T，Wei M.On solutions of the matrix equations X－AXB＝Cand X－AB＝C［J］.Linear Algebra and its Applications，2003，367：225－233.

［4］ Wu A G，Duan G R，Yu H H.On solutions of XF－AX＝Cand XF－AX＝C［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，183（2）：932－941.

［5］ Hou J J，Peng Z Y，Zhang X L.An iterative method for the least squares symmetric solution of matrix equation AXB＝C［J］.Numerical Algorithms，2006，42：182－192.

［6］ Peng Z Y.An iterative method for the least squares symmetric solution of the linear matrix equation AXB＝C［J］.Applied Mathematics and Computation，2005，170：711－723.

［7］ Wu A G，Lv L L，Hou M Z.Finite iterative algorithms for extended Sylvester－conjugate matrix equations［J］.Mathematical and Computer Modelling，2011，54：2363－2384.

On Solutions of the Extended Sylvester－Conjugate Matrix Equations

GUO Xiao－Xia，GUO Pei－Chang
（School of Mathematical of Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

The solutions of an extended Sylvester－conjugate matrix equation and a more general complex matrix equation are investigated.An iterative algorithm based on the real representation of a complex matrix is proposed.Two numerical examples are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm.

real representation；extended Sylvester－conjugate matrix equations；solution

O241.6

A

1672－5174（2012）05－125－04

教育部新世纪优秀人才支持计划项目（NCET－08－0500）；山东省青年科学家奖励基金项目（BS2010SF03）资助

2011－03－13；

2011－11－28

郭晓霞（1971－），女，教授。E－mail：guoxiaoxia＠ouc.edu.cn

AMS Subject Classification：15A24

责任编辑 朱宝象