有多个跳跃源的跳扩散模型的期权定价

颜 玲， 王永茂， 刘海涛， 王怡菲， 刘 超， 吴琳琳

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

0 引言

在金融数学中，期权定价问题是核心问题之一.文献[1]在1973年利用偏微分方程理论推出了著名的Black-Scholes期权定价公式，Black-Scholes公式是用几何布朗运动来描述股票价格的波动规律.由于几何布朗运动是连续的随机过程，所以它无法描述股票价格有大幅度波动的情况.实践表明，股票的价格可能会出现间断的跳跃.Merton[2]在1976年建立了股票价格的Possion跳扩散模型，用扩散过程来表示股票价格的连续波动，用跳过程来表示股票价格的不连续波动．还有很多研究者都对股票价格波动进行了研究[3-5].本文在假设资产股票价格的跳过程为比Possion过程更一般的一类更新过程的基础上，进一步考虑受多个跳跃源影响的情况.利用等价鞅测度变换方法，给出了具有随机利率的跳扩散模型的期权定价公式.

1 预备知识

对于计数过程{Nt,t≥0}，如果每次事件发生的时间间隔T1,T2…相互独立，而且服从同一参数为λ指数分布，则此计数过程为参数λ的Poisson过程.更新过程是Poisson过程的推广，下面讨论一类特殊的更新过程.

定义2[6]设{Nt,t≥0}是更新过程，其更新间距Tn服从Γ(α,λ)分布,α≥1，即Tn具有密度函数

则称Nt=sup{n:τn≤t,t≥0}为一类特殊的更新过程.

引理1[6]若{Nt,t≥0}是定义1，2中的特定的更新过程，记Pn(t)=P(Nt=n)，则

(1)

当α为正整数时

(2)

特别，当α=1时

(3)

2 期权定价

在给定的一个无套利、无税收、无交易成本、无摩擦、可连续交易的完全金融市场，此金融市场中仅有两种资产，一种是可连续交易的风险资产(股票)St，另一种为到期日为T的零息债券B(t,T)，在风险中性概率测度下，它们分别满足随机微分方程：

(4)

(5)

其中，r(t)为随机短期利率；σ(t)为没有跳跃时股票价格的波动率；δ(t,T)为债券波动率；W1(t),W2(t)为概率空间(Ω,F,P)上的标准布朗运动，且ρ(W1(t),W2(t))=ρ,0≤|ρ|≤1，Ui(Ui>-1)为随机变量，是股票价格发生跳跃时股票价格的相对跳跃高度.

定理1设St,B(t,T)满足随机微分方程(4)和(5)，则到期日为T，执行价格为K的欧式看涨期权定价公式为

(6)

证明若股票价格St和债券价格B(t,T)分别满足随机微分方程(4)和(5)，C(t,St)为看涨期权在t时刻的价值，由引理2得

(7)

由Girsanov定理[8]知，W0*(t)为P*下的标准布朗运动，从而得知

(8)

在测度P*下,

所以

(9)

用类似的方法可以得到

(10)

将(9),(10)代入(7)式化简后可得

如果将0时刻改为t时刻，用类似的方法可得定理2.

定理2设St,B(t,T)满足随机微分方程(4),(5)，到期日为T，则执行价格为K的欧式看涨期权在t时刻的价格为

其中,

[1] Black F,Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3): 637-654．

[2] Merton R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Financial Economics,1976,3(1/2): 125-144.

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