算术里的艺术

廖敢云

摘要：本文阐述了被除数为质数时产生的循环小数的多种奇妙现象，进而分析了被除数为合数的相关余数的规则性，揭示了自然界存在的一种数字内涵的美，并分析了一个偶位数循环节不一定具有半九律。

关键词： 循环节 余数 互质

1、产生循环节的相关余数之间的关系

1.1如表1所示，a/b化小数中，以b=17为例，用表格列出1/17的循环节及其相关余数。表格中第一行为循环节上的数字，第二行为相关余数。

表1

把表1中其相关余数从1到10到15…到12的顺序依次编为a 到a …到a ，如表所示中，a 是a 的2/3倍，即12*2/3=8，同样，a 与a 的2/3关系：可把8还原为2*17+8，即42*2/3=28，28-17=11，如此计算，a 总是a 的2/3倍。依次看下去，a 也是a 的2/3倍。又如：a +a +a =a 即：1+10+4=15，则a +a +a =a 也成立。再如a +a +a +a =0（注：这里的0是17即b进制的个位数0），则 a +a +a +a =0也成立 。可以看出：在a/b化小数时，其先后出现的余数中，如果a 与a 之间有某种和、差、倍的关系，则a 与a 也有这种和、差、倍的关系。等等。以上是以b为质数17时产生的现象，当b为别的质数时，同样会有这种类似的或别的关系。结论：在a/b（b为非2、3、5的质数）化小数产生的任何一个循环节里，如果依次出现的某顺序上相关余数之间存在着某种关系时，只要符合这个顺序关系的其它的相关余数之间也存在同样的关系。

1.2若十进制整数Z是一个由9组成的n位数，用10 、10 …到10 分别除以b得到相应的余数再分别乘以9后相加，若能被b整除，则Z也就能被b整除。以b=17为例，其除十进制10 （0≤n≤16）每位上所得的余数刚好与1/17化小数过程中所得循环节的各个相关余数相同，见表2第二行。即：9*（a +a +…+a ）的结果是17的倍数才能被17整除，而质数17并不含有9的任何因数，那么（a +a +…+a ）的结果必为17的整数倍，(当b=17时，j=b-1=16)。而当b=3时，无论（a +a +…+a ）的结果是什么，9*（a +a +…+a ）的结果都能被3整除。所以当b=3时，产生循环节的相关余数之和可以不是3的整数倍。结论：在a/b（b为非2、3、5的质数）化小数中，产生同一个循环节的相关余数之和为b的整数倍。

1.3在a/b化小数中，以1/17为例，用表格分4组依次列出1/17的相关余数，每组4个相关余数，如表2

表2 表3

表2是1/17所产生的相关余数，而表3中，每一列数中从第一行到第四行之比皆为表2第一列第一行到第四行数之比即A ：A ：A ：A =1：4：16：13。表3与表2的第一行和第一列数都相同，根据整除的理论，由于表2中这些余数都是同一个循环节的相关余数，说明表2中每一行数字之和都不能被17整除。表3中，设第一行之和到第四行之和分别为M、M*A / A 、M*A / A 、M*A / A 。由于表3各数之和是表2各数之和加上17的整数倍的结果，又由整除理论可知表2各数之和是17的整数倍,所以表3也是17的整数倍,而表3四行之和为：M+ M* A / A + M* A / A + M*A / A 即：M*( A + A + A + A )/ A。由于1≤A ≤16，A 不含有质数17的任何因数,由整除理论可知M不可能是17的整数倍，所以M/A 不含有17的任何因数，只有(A +A +A + A )之和为17的整数倍。结论：在a/b(b为非2、3、5的质数)化小数中，所得的循环节的相关余数有w个，w为（b-1）的因数，若w=q*p成立，则可按其依次出现的顺序分成q组p个，那么无论任何分法，每一组相同位置的余数相加和为b的整数倍，即a +a +a …+a =Z*b(Z为整数)。

1.4在a/b化小数中，所得的任一循环节上的数字按循环顺序如果可以分成q组p个，则把每组数字按原循环顺序组成一个p位数后再把q个p位数加起来和为T，具有合九律。相关余数的第一列之和（A + A + A +……+A ）除以b等于整数 Z，当Z=1时，T为p位数字9组成的数；当1＜Z≤10时，T是首一位数字加上尾一位数字和为9，中间由p-1位数字9组成的数；当10 +1≤Z≤10 时,T是一个n+1位首尾和为n+1位9,中间由p-n-1位9组成的数；以1/7为例，产生的循环节为142857，共6位，可以分成3组，每组两个数字，即14、28、57，则14+28+57=99；或者分成42、85、71，则42+85+71=198，三组首位相关相余数相加为3+6+5=14，Z=14/7=2，2*9=18，首1加尾8即1+8=9。（注：本文中w、p、T含意与此节里相同）

2、除数为合数产生的循环节

2.1几种特殊数的性质。

真分数a/b中b=b *b ：⑴若b =2 ，b 为非2、5的质数时，a/b=（a*5 ）/b /10 ，若 （a*5 ）/ b =Z+v, ( 1≤v＜b ),那么a/b=（Z+v/b ）/10 ，Z部分不被包含在循环节里；而b =5 时，同理可推。也就是说，b 为2 或5 时，所产生的循环节与a /b [1≤a ≤（b -1）]产生的循环节相同。而a中与b互质的数所产生的循环节全部可以通过相关转换成以b 为除数所产生的循环节。⑵ 3是数字动态形式里9的因数，当b =3 ，b 为质数时：①化a/b为小数的过程中不会出现余-a的情况；②若n=1， b产生的循环节上数字之和为3的整数倍，且同一个循环节里计算“半九律”的结果为“半三或半六律”；③若n=2，b产生的同一个循环节里计算“合九律”的结果“合X律”，X为1至8中的任何一个数字。④同一个循环节里的任意两个与3互质的相关余数之差皆为3（或9）的整数倍。

2.2 在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b 和b 皆非2或5的质数（以后相同），那么a/b化小数的过程中会产生三部分循环小数，一部分是由从1到（b-1）中有（b -1）个含有b 为因数的数，这些数与b约去b 后成为以a /b 化小数产生的循环节，1≤a ≤（b -1）；同样地，第二部分与第一部分过程一样，是由a /b 化小数产生的，1≤a ≤（b -1）；第三部分是以b为除数，从1到（b-1）中与b互质的数为被除数产生的，其能产生（b-1）-（b -1）-（b -1）即（b+1）-（b +b ）个参与这部分循环节的数。从1到b-1中含有b 、2 b 、3 b ……（b -1）b 和b 、2b 、3 b ……（b -1）b ，通过演算，它们和为：b*（b +b -2）/2，由于b 和b 皆不为2或5的质数，所以（b +b -2）/2是一个整数，由从1到b-1之和是b*（b-1）/2，而（b-1）/2-（b +b -2）/2也为整数，故第三部分的余数之和是b的整数倍。若b是w个数字9组成数的因数，则b产生的第三部分循环节与由a /b （或a /b ）产生的循环节组成w位数除以b （或b ）相同，并且w是（b-1）/2-（b +b -2）/2的因数。以b=133、b =7、b =19为例，由（b+1）-（b +b ）=133+1-7-19=108位，但由于w =6，w =18，它们的最小公倍数为18，所以18个9组成的数就能被133整除，所以有6个18位的循环节。当a=1时，循环节和相关余数如表4。

0 0 7 5 1 8 7 9 6 9 9 2 4 8 1 2 0 3

1 10 100 69 25 117 106 129 93 132 123 33 64 108 16 27 4 40

表4

从表4排列可以看出，a +a =7K ，而a +a =19K ， a -a =7k ,a -a =19k ,以上K 、K 、k 、k 皆为整数。在133中只含因数7、19仅各一个，用1.3节表2的排列法来分析，18可分解为2*9、3*6两种，133的第一行若为6个余数1、10、100、69、25、117，和M为7*46，由a +a =7K ，则第一行之和M含133的因数7，而必仅含因数19的第一列余数1、106、64之和19*9不能被133整除；若每行9个，则每行相连6个的结果才能被7整除，而9不是6的整数倍，所以第一行之和不含因数7，同理，也不含因数19，所以每列数字之和必同时含因数7、19，能被133整除，所以具有合九律。结论：⑴在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b和b 、b 所得的循环节位数分别为w、w 、w ，则w为w 与w 的最小公倍数，若w 、w 皆为偶数，设w /2=s, w /2=r，则第三部分相关余数中，a +a 为b 的整数倍，a 与a 之差为b 的整数倍，而a +a 为b 的整数倍，a 与a 之差为b 的整数倍。若w≠w 且w≠w ，第一行排w （或w ）的整数倍p （或p ）个相关余数所得的第一列和只是b （或b ）的整数倍。而所得T有以b （或b ）为除数所得的w/p （或w/p ）个循环节组成的部分。⑵若w、w 、w 皆为偶数，且w/ w、w/ w 皆为奇数，那么第三部份循环节具有半九律；若 w 、w 有其一为质数或皆为质数，则第三部分同一个循环节里没有合九律，第j位相关余数到第j+ w -1位（或j+ w -1位）相关余数之和为b （或b ）的整数倍即任意连续w （或w ）个相关余数之和是b （或b ）的整数倍。⑶若w 是w 的公倍数，则以b 产生的循环节为数除以b 结果始终还是b 产生的循环，w 位b 产生的循环节组成的数除以b 结果还是w / w 个b 产生的循环节。

2.3在a/b中, b=b ，则产生的循环节有两部分，一部分由1到（b -1）除以b 产生，另一部分由1到（b-1）中与b互质的数除以b产生。

2.4当b为n个质因数（非2、5）的积，从1到b-1中与b互质的数之和总是b的整数倍，化a/b为小数所得的循环节由2 -1个不同的除数产生。

2.5在a/b中，b为n个质因数（非2、5）的积，相应的循环节位数为w、w 、w 、w …w ，则w为w 、w 、w …w 的最小公倍数，在b产生的循环节里，p为w、w 、w 、w …w 中任何整数倍时，所得的T都没有合九律。当w为偶数，且w与w 、w 、w …w 的比值皆为奇数时，与b互质产生的循环节才具有半九律。

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。