二次函数在中学阶段的应用

　　二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在初中阶段，学生由于基础薄弱，又受接受能力的限制，对这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，学生还要对二次函数的基本概念和基本性质（图像及单调性、奇偶性、有界性）进行深入学习。
　　一、进一步深入理解函数概念
　　初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来更深刻地认识函数的概念。二次函数是从一个数集A（定义域）到数集B上的对应f：A→B，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax+bx+c（a≠0）。这里ax+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在集合B中的对应元素，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　题型I：已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.
　　这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　题型Ⅱ：设f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.
　　这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1在集合B中的对应元素为x-4x+1，求定义域中元素x的在集合B中的对应元素，其本质是求对应法则。
　　一般有两种方法：
　　（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.
　　（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都适用。
　　令t=x+1，则x=t-1，所以f（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，从而f（x）=x-6x+6.
　　二、二次函数的单调性、最值与图像
　　在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax+bx+c（a≠0）在区间（-∞，-］及［-，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习与二次函数有关的一些函数的单调性。
　　题型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性。
　　（1）y=|x+2x-1|?摇（2）y=x+2|x|-1
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数表示，然后画出其图像。
　　题型Ⅳ：设f（x）=x-2x-1在区间［t，t+1］上的最小值是g（t），求：g（t），并画出y=g（t）的图像.
　　解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1时取最小值-2
　　当1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2
　　当t＞1时，g（t）=f（t）=t-2t-1
　　当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t-2
　　g（t）=t-2，（t＜0）-2，（0≤t≤1）t-2t-1，（t＞1）
　　首先要使学生弄清楚题意。一般的，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
　　如：y=x-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域.（可适当改变区间）
　　三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维
　　题型Ⅴ：设a为实数，函数f（x）=2x+（x-a）|x-a|.
　　（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
　　（2）求f（x）的最小值；
　　（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）≥1的解集.
　　解析：本小题主要考查函数的概念、性质、图像及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
　　（1）若f（0）≥1，则-a|a|≥1?圯a＜0a≥1?圯a≤-1
　　（2）当x≥a时，f（x）=3x-2ax+a，f（x）=f（a），a≥0f（），a＜0=2a，a≥0，a＜0
　　当x≤a时，f（x）=x+2ax-a，f（x）=f（-a），a≥0f（a），a＜0=-2a，a≥02a，a＜0
　　综上f（x）=-2a，a≥0，a＜0
　　（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1得3x-2ax+a-1≥0，△=4a-12（a-1）=12-8a，
　　当a≤-或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；
　　当-＜a＜时，△＞0，得：（x-）（x-）≥0x＞a
　　讨论得：当a∈（，）时，解集为（a，+∞）；
　　当a∈（-，-）时，解集为（a，］∪［，+∞）；
　　当a∈［-，］时，解集为［，+∞）.
　　二次函数有着丰富的内涵和外延。我们可以以它为代表来研究函数的性质，建立起函数、方程、不等式之间的联系，编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化。因此，同学们必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。