关于分段函数的几点注意

　　函数的表示方法讲解分段函数，明确指出，分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，教材中只以例题形式出现，并未作深入的系统介绍，但分段函数与一般函数有明显的区别，学习时往往容易受一般函数的影响而产生负迁移，不少学生对它认识肤浅模糊，解题中常出现偏差，现对分段函数内容加以补充，供参考。
　　一、分段函数概念理解
　　1.定义：在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称之为分段函数。
　　2.注意点：①分段函数是一个函数，而不是几个函数，它是由各段上的解析式（对应法则）用符号“{”合并成的一个整体；②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；③解分段问题应突出“对号入座”、“先分后合”思想。
　　二、分段函数题型
　　1.作分段函数的图像
　　例1：已知函数f（x）=2x（x≥0）x（x＜0），作出这个函数的图像。
　　解：由于分段函数有两段，所以这两个函数图像应由两条线段组成，其一是一段抛物线，其二是一条射线，画出图像如图1所示。
　　说明：分段函数有几段，其图像就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同部分分别由表达式作出其图像。作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意间断函数图像每段端点的虚实。
　　2.求分段函数的函数值
　　例2：已知f（x）=（x≤-2）π（-2＜x＜2）x-4x（x≥2），
　　求f{f［3］}的值。
　　解：由3∈［2，+∞），所以f（3）=3-4×3=-3
　　又-3∈［-∞，-2），所以f［f（3）］=f（-3）=×（-3）=-
　　而-∈（-2，2），故f{f［f（3）］}=f（-）=π
　　说明：求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后找相应的对应法，则求出函数值。
　　3.求分段函数自变量的取值问题
　　通常先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的解。
　　例3：函数f（x）=x+3（x≤-2）x（-2＜x＜4）3x（x≥4），
　　若f（x）=3，则x的值是?摇?摇?摇?摇?摇 ?摇。
　　解：（1）当x≤-2时，f（x）=x+3≤1＜3，
　　故此时方程f（x）=3无解；
　　（2）当x≥4时，f（x）=3x≥12＞3，
　　故此时方程f（x）=3无解；
　　（3）当-2＜x＜4时，f（x）=x∈（-8，64），
　　由f（x）=3，得x=3，解得x=.
　　综上可知：x=.
　　点评：求解此类问题时，一般先假设所求的解在分段函数的定义域的各部分内，然后相应地求出在各部分定义域内的解，需要注意的是定义域内各部分的范围对解的限制作用。
　　4.分段函数的值域问题
　　分段函数的值域的求解方法是分别求出各段函数的值域，再取其并集即可。
　　例4：求函数f（x）=x+1（x≥0）-x（x＜0）的值域。
　　解：因为当x≥0时，x+1≥1，
　　当x＜0时，-x＜0，
　　所以原函数的值域为（-∞，0）∪［1，+∞）.
　　点评：求分段函数的值域，要先根据定义域求出在各定义域内部分的值域，然后取其并集。
　　5.分段函数的最值
　　分段函数的最值的求解方法有：数形结合法和逐段分析、再综合法等。
　　例5：函数f（x）=x，x∈（-1，2］x+2，x∈［-3，-1］的最大值是?摇?摇?摇?摇?摇?摇，最小值是?摇?摇?摇?摇?摇?摇。
　　解：易知函数y=x，x∈（-1，2］的最大值是4，最小值是0，值域是［0，4］；函数y=x+2，x∈［-3，-1］的最大值是1，最小值-1，值域是［-1，1］.
　　综上，函数f（x）在定义域［-3，2］上的最大值是4，最小值是-1.
　　6.分段函数的表达式问题
　　例6：动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，y表示PA的长度，求y关于x的表达式。
　　解：如图2所示，当P点在AB上运动时，PA=x；当P点在BC上运动时，由Rt△PBA求得PA=；当P点在CD上运动时，由Rt△PDA，求得PA=；点P点在DA上运动时，PA=4-x.
　　所以y关于x的表达式是：
　　y=x，0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤34-x，3＜x≤4.
　　总之，求分段函数的定义域则是各段定义域的并集，求分段函数的值域也是分别求出各段上的值域后取并集；求分段函数的最大（小）值则是分别在每段上求出最大（小）值，然后取各段中的最大（小）值。解题时，我们要记住一句话：“分段函数并不难，分类讨论是关键：对号入座求发展，数形结合助平坦。”