巧用换元法求解一次分式型递推数列

　　对于一次分式型递推数列：
　　a=（r≠0，ps≠qr）……（1）
　　一般资料上都用借助特征方程求不动点的方法.这种方法的理论背景较为复杂，不太符合高中学生的认知心理和思维习惯.那么，有没有不用高等数学知识，而只用高中数学知识来求解的方法呢？
　　思维策略分析：我们将以上递推数列变为整式，即可得到
　　raa+sa-pa-q=0……（2）
　　我们发现，如果能使（2）中的常数项消失，便可变形为形如
　　aa=Aa+Ba（AB≠0）……（3）
　　的递推数列，而这种数列可通过取倒数变形为基本数列问题.而这里的常数项追本穷源就是原来（1）式中分子中的常数项q.为此，在（2）中，若令a=b+t（t∈R且t≠0）（b为另一数列），则有
　　r（b+t）（b+t）+s（b+t）-p（b+t）-q=0
　　又可化简为：
　　rbb+（rt+s）b+（rt-p）b+rt+（s-p）t-q=0……（4）
　　然后，只需rt+（s-p）t-q=0令，（这里需满足（s-p）+4rq≥0）解出t值，再代入（4），就可将（4）化成递推数列（3），从而达到求解的目的.
　　显然，这里运用了高中学生非常熟悉的换元法，引进了新数列，从而实现了化一般为特殊的思维目标，使问题的解决水到渠成，以下通过几例介绍该方法在解题中的应用.
　　例1.已知数列｛a｝满足a=，且a=2，求数列｛a｝的通项公式.
　　解：令a=b+t（t≠0），则有：
　　b+t=
　　变形，得b=
　　令1-t=0，得t=1或t=-1，不妨取t=1（取t=1也可），则可得
　　b=
　　取倒数可得：=+1
　　+=3（+），
　　即｛+｝为等比数列，公比q=3，首项为+=+=.
　　由此先求出b，再由b即可求得a=.
　　例2.设数列｛a｝的前n项和为S，且S-2S-aS+1=0，求数列｛a｝的通项公式.
　　解：将a=S-S（n≥2）代入已知递推式，消去a得：
　　SS-2S+1=0
　　变形得：S=
　　令S=b+t（t≠0），得b+t=
　　变形得：b=.
　　令（t-1）=0，则t=1.代入上式得b=
　　再用取倒数的方法即可求得b，进一步可得出S=.
　　再由S即可求得a=.
　　例3.（2005年重庆卷•文•22题）设数列｛a｝满足a=1，且
　　8aa-16a+2a+5=0（n≥1），记b=（n≥1）.
　　（1）求b，b，b，b的值;
　　（2）求数列｛b｝的通项公式及数列｛ab｝的前n项和Sn.
　　解：（1）略.b=2，b=，b=4，b=.
　　（2）显然所给递推公式属于类型（2），令a=c+t（t≠0）则
　　8（c+t）（c+t）-16（c+t）+2（c+t）+5=0
　　整理可得：
　　8cc+（8t-16）c+（8t+2）c+8t-14t+5=0
　　令8t-14t+5=0得：t=或t=.
　　不妨取t=（取t=亦可），则有4cc-6c+3c=0.
　　这显然属于类型（3），可变形为c=，取倒数即可求解.
　　答案：a=，b=，S=（2+5n-1）.
　　通过以上几例可以发现，看似形态各异的几个递推数列，它们通过变形后都可以转化成同一种类型，然后使用同一种方法巧妙求解，从而获得了这种问题的求解通法，自然也就提高了数学思维水平和解题能力.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文