因式分解的常见应用

　　因式分解是初中数学中极为重要的知识，也是学习解一元二次方程、一元二次不等式等知识的基础。它在数学中有着广泛的应用。根据题目的特点，灵活运用因式分解，可以提高解题速度。本文就其常见的应用，结合实例进行归纳与探讨。
　　1. 利用因式分解求代数式的值
　　例1若n为正整数，并且|a-b+1|＋（c+d+2008）2=0。求2d（a-b）2n-1+(c-d)（a-b）2n-1的值。
　　解：由非负数的性质知a-b=-1，c+d=-2008。
　　又∵n为正整数，
　　∴2n-1为奇数。
　　∵2d（a-b）2n-1+（c-d）（a-b）2n-1=（a-b）2n-1（2d+c-d）=（a-b）2n-1（c+d）=（-1）2n-1×（-2008）=2008。
　　例2若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，求x+y的值。
　　解：将两方程相加，得（x+y）2+（x+y）=42。
　　于是（x+y-6）（x+y+7）=0，
　　所以x+y=6或者x+y=-7。
　　2. 利用因式分解求最值
　　例3设x、y都是正整数，且使+=y，求y的最大值。
　　解：∵x、y均为正整数，
　　=m与也均为非负整数，
　　∴设=m，=n(m、n为非负整数，且m　　于是有x-116=m2………………①
　　 x+100=n2………………②
　　②-①，得n2-m2=216，
　　即（n-m）（n+m）=23×33。
　　∵y=m+n，要求y的最大值，即要求m+n的最大值，
　　又∵n-m与n+m具有相同的奇偶性，
　　∴m+n的最大值为23×33=108，即y的最大值为108。
　　3. 利用因式分解化简代数式
　　例4若a2+4ab+4b2-1=0，化简a3+2a2b+a2。
　　解：由已知得（a+2b）2=1，∴a+2b±1。
　　∴a+2b=1时，a3+2a2b+a2=a2（a+2b+1）=2a2。
　　 a+2b=-1时，a3+2a2b+a2=a2（a+2b+1）=0。
　　4. 利用因式分解证明代数恒等式
　　例5求证：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2。
　　解：左边=（a2+b2+2ab）+（ac+2bc）+c2
　　 =（a+b）2+2c（a+b）+c2
　　 =（a+b+c）2=右边。
　　5. 利用因式分解证明代数不等式
　　例6已知a、b、c为△ABC的三条边长，求证：a2+b2-c2-
　　2ab<0。
　　证明：∵a2+b2-c2-2ab =（a-b）2-c2=(a-b-c)(a-b