关于三角形中的三等分角线的研究

　　古希腊三大著名几何问题之一是：三等分角，即分任意角为三等分。这个问题大概产生于下列思想：与希腊人已经能二等分任意角，作为二等分角的延伸，自然会考虑三等分任意角。用现代的数学语言来说，它归结于求解方程cosΦ=4cos-3cos，或者a=4x-3x。
　　“三等分一个已知角”在历史上已证明是尺规作图所不能的问题，但我们也提到了若改变作图的条件，则问题就改变了。在这里我们要逆向地考虑问题，即仅用尺规作出某一个三角形，并作出它的各角的三等分角线。我提出的作法如下：
　　如图1，在正△XYZ的边上分别截取YD=ZE，YD=XF，又连结YE、ZD、XD、YF、XD交ZD于点B，又作∠XZF=∠FYE且ZF交XY于F，ZF交YF于点A，在ZY上截取ZE=XF，连结XE交YE于点C，作△ABC，又分别连结FB，FC并延长交YZ于点D、E，连结DC、DA并分别延长交XZ于点E、F，DA交FB于D，连结EB交DC于点E，延长EB交XY于点D，连结EA交CF于点F，延长EA交XY于点F，连结AD交BZ于点D，连结AE交CY于点D，连结BF分别交AD与AZ于点Q、E，又连结BE交CX于点E，连结CF分别交AE、AY于点P、F，连结CD分别交BE、BX于点R、F，那么有：
　　（1）AD，AE，BE，BF，CD，CF分别是△ABC的各劣角的三等分线；
　　（2）DF，EF，DE，FD，DE，FE分别是△ABC的各外角的三等分线；
　　（3）AF，AF，BD，BD，CE，CE分别是△ABC的各优角的三等分线。
　　为了证明这个作法，在这里引进一个引理：
　　引理：如图2，在等边△ABC内取点K、L、M，使得∠KAB=∠LBA=α，∠MBC=∠KCB=β，∠LCA=∠MAC=γ，且α+β+γ=60°，则∠LMK=3α，∠MLK=3β，∠MKL=3γ。
　　证明：如图2，延长AK、AM分别交BC于点P、Q，又连结PM、QK，则∠PBM=∠PAM=β，?圯点P、M、A、B四点共圆，?圯∠MPA=∠MBA=α+γ，
　　同理可得∠AQK=∠ACK=γ+α，∴∠KPM=∠KQM=α+γ，∴点P、Q、M、K四点共圆，∴∠AMK=∠KPQ=∠ABP+∠PAB=60°+α。
　　同理可证：∠BML=60°+α。
　　又在△ABM中，∠AMB=180°-（α+β）-（α+γ）=120°-α，
　　∴∠LMK=∠AMK+∠BML-∠AMB=（60°+α）+（60°+α）-（120°-α）=3α。
　　同理可证：∠MLK=3β，∠MKL=3γ。
　　证毕。
　　下面我们正式来证明这个关于作某一个三角形的各角的三等分线的作法是正确的。
　　证明：由作法，已知等边△XYZ，YD=ZE，YD=XF，∠XZF=∠FYE，ZE=XF，
　　则∵YD=ZE，YZ=YZ，∠XYZ=∠XZY=60°，
　　∴△DZY≌△EYZ，
　　∴∠CYZ=∠BZY=β。①
　　同理：由YD=XF得∠AYX=∠BXY=α。②
　　由ZE=XF得∠AZX=∠CXZ=γ。③
　　又∵∠XZF=∠FYE=∠AZX=γ，
　　∴α+β+γ=60°，④
　　由①、②、③、④可知，满足引理条件，
　　∴∠ACB=3α，∠BAC=3β，∠CBA=3γ。
　　由∠DYC=∠CXD=β?圯点D、C、X、Y四点共圆，
　　?圯∠CYX=∠CDX=α+γ，
　　同理可得∠XEB=∠XZB=α+γ，
　　∴∠BDC=∠CEB=α+γ，
　　∴点B、C、E、D四点共圆，
　　∴∠BCE=180°-∠BDE=180°-（60°+α）=120°-α。
　　又优角∠C=360°-3α，三等分后为120°-α。
　　∴CE为优角∠C的一条三等分线。
　　同理可得：AF，AF，BD，BD，CE分别是△ABC相应的各优角的三等分线。（１）
　　∵点D、C、X、Y四点共圆（上已证），
　　∴∠DXY=∠DCY=α。
　　又∵∠BCY=180°-∠ACB-∠ECA=180°-3α-（120°-α）=60°-2α，
　　∴∠BCD=∠DFY+∠BCY=α+60°-2α=（180°-3α），
　　∴DC即ED为△ABC中对应∠C的外角的三等分线。
　　同理可得：
　　DF，EF，DE，FD，FE分别是△ABC的各外角的三等分线。（2）
　　由上述证明过程可得：
　　∠XYC=∠XDC=∠XED=α+γ，
　　即∠DYC=∠DDC=α+γ，
　　∴点D、Y、E、C四点共圆，
　　∴∠DCE+∠DYE=180°。
　　即∠DCE=180°-∠DYE=180°-60°=120°，
　　∴∠DCB=∠DCE-∠BCE=120°-（120°-α）=α=（3α），
　　∴CD是劣角∠C的三等分线。
　　同理可得：
　　AD，AE，BE，BF，CF分别是△ABC的各劣角的三等分线。 （3）
　　由（1）、（2）、（3）可知，此作法正确。
　　证毕。
　　以上作法及其证明表明，改变作图的条件（在这里是作逆向考虑），作某一个三角形，并作出它的各角的三等分线，而借助的是一个正三角形，从而达到了作某一个三角形的三等分线的目的。当然，图1还有许多尚未被发现的美妙性质，有兴趣的读者可以作进一步研究。
　　
　　参考文献：
　　［１］梁卷明.一道IMO备选题的推广［J］.中学数学，2003，3.