赋值法在解数学题中的应用

　　在解数学题时，人们一般运用逻辑推理方法，一步一步地寻求必要条件，最后求得结论。对于有些问题，我们若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0、1、-1等），往往能使问题获得简捷有效的解决，这就是赋值法。现举例阐述这一方法的具体应用。
　　一、赋值法在求函数表达式中的应用
　　例1：设f（x）的定义域为自然数集，且满足条件f（x+1）= f（x）+f（y）+xy，及f（1）=1，求f（x）。
　　分析：因为f（x）的定义域为自然数集，可令y=1，使f（x+1）=f（x）+f（y）+xy中只含有x，再令x=1、2、3、…、n-1，然后用累加的方式可求出f（n），即f（x）。
　　解：∵f（x）的定义域为N，取y=1，则有f（x+1）=f（x）+x+1
　　∵f（1）=1
　　∴f（2）=f（1）+2
　　f（3）=f（2）+3
　　……
　　f（n）=f（n-1）+n
　　以上各式相加，有f（n）=1+2+3+…+n=
　　∴f（x）=x（x+1），x∈N.
　　二、赋值法在判定函数奇偶性中的应用
　　例2：已知f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），对一切实数x、y都成立，且f（0）≠0，求证f（x）为偶函数。
　　分析：由题设可知x、y为任意实数，可令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），再令y=0，得2f（0）=2f（0），得f（0）=1；代入f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）得f（-y）=f（y），从而判断出f（x）为偶函数。
　　证明：令x=0，则已知等式变为f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）…①
　　在①中令y=0，则2f（0）=2f（0）
　　∵f（0）≠0
　　∴f（0）=1
　　∴f（y）+f（-y）=2f（y）
　　∴f（-y）=f（y）
　　∴f（x）为偶函数.
　　三、赋值法在判定、证明函数单调性中的应用
　　例3：已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（xy）=f（x）+f（y）。
　　（1）求f（1）；
　　（2）证明f（x）在定义域上是增函数。
　　分析：求f（1）的值需要在等式f（xy）=f（x）+f（y）中构造出含有f（1）的等式，只需令x=y=1即可；判断抽象函数的单调性的基本方法是定义法，其关键是根据所给条件判断f（x）-f（x）的符号，多数情况下需要设法构造出x-x或的因式。
　　解：（1）令x=y=1，得f（1）=0。
　　（2）设x＞x＞0，则＞1，
　　∴f（）＞0.
　　在等式f（xy）=f（x）+f（y）中令y=，
　　得f（1）=f（x）+f（）=0
　　∴f（）=-f（x）
　　∴f（）=f（x）+f（）=f（x）-f（x）＞0
　　即f（x）＞f（x）
　　故f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数.
　　四、赋值法在处理特殊与一般关系题型中的应用
　　例4：过点M（p，0）任作一条直线交抛物线y=2px（p＞0）于P、Q两点，则+的值为（）。
　　A. B.C.D.
　　分析：从题设条件中可知过点M（p，0）的直线具有任意性，直接解题非常繁琐，而从选择支中知道结论具有唯一确定性，因此可用特殊代一般赋予条件以特殊值来求解，就会很简单。
　　解：取过点M（p，0）与x轴垂直的直线x=p，则P（p，p），Q（p，-p），
　　∴+=+=，故选D.
　　五、赋值法在有关二项式中求“系数和”中的应用
　　例5：已知（x-x+1）=a+ax+ax+ax+ax，则a+a+a+a=?摇?摇 ?摇?摇?摇?摇。
　　分析：从已知条件中可知，等式左侧不是二项式，右侧按x的升幂排列，不能从二项式定理入手，但就等式本身而言，x是同一值，欲求a+a+a+a，从右侧可知，当x=1时，可得a+a+a+a+a，再去掉a，这时再令x=0就可得出。
　　解：令x=0，得a=1，
　　令x=1，得a+a+a+a+a=1，
　　∴a+a+a+a=0.
　　例6：设（x+1）（2x+1）=a+a（x+2）+a（x+2）+…+a（x+2），则a+a+a+…+a的值为（ ）。
　　A.-2 B.-1C.1D.2
　　分析：本题类似于上一题，但要注意右侧中需将x+2看做整体。
　　解：令x+2=1，即x=-1，
　　可得a+a+a+…+a=［（-1）+1］［2×（-1）+1］=-2
　　故选A.