对函数模型的探究

　　函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考查既考小题又考大题。出于“立意”和创设情景的需要，函数模型试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数模型思想的考查，加大函数模型应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使考题显得新颖、生动和灵活。
　　考试源于课本而不拘泥于课本，教材上的例习题都是很典型的，要求学生不断挖掘教材中例习题的多种功能，在函数模型中，对增长率的应用由表及里，能培养学生思维的深刻性。
　　心理学家研究表明：人的认识总是由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由简单到复杂的。因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步地多次地获得成功，保护学生的旺盛的学习积极性，培养思维的深刻性。如在讲指数函数的定义及应用时，可根据教材设计如下。
　　题组一：巩固型题组，为熟悉基本知识、方法而设置。
　　问题1：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001—2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？（人教版A版必修1P48引例）
　　如果我们把2000年的GDP看成是1个单位，2001年为第一年，那么：
　　1年后（即2001年）我国的GDP可望为2000年的（1+7.3%）倍；
　　2年后（即2002年）我国的GDP可望为2000年的（1+7.3%）倍；
　　3年后（即2003年）我国的GDP可望为2000年的倍；
　　4年后（即2004年）我国的GDP可望为2000年的倍；
　　……
　　设x年后我国GDP为2000年的y倍，那么
　　y=（1+7.3%）（x∈N，x≤20）
　　即从2000年起，x年后我国的GDP为2000年的1.073倍。
　　该题虽然简单，但学生的理解还处于一知半解的状态，为了使学生掌握其通性通法，举一反三，达到触类旁通的境界，我作了如下变式：
　　问题2：某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林 。
　　A.14400亩B.172800亩C.17280亩D.20736亩
　　问题3：某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数y=f(x)的大致图像为 。
　　既补充和延伸了课堂教学，消除了学生的疑虑，排除了干扰，又培养了学生的质疑精神、科学的批判精神和锲而不舍的学习精神，我们何乐而不为呢？
　　题组二：提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置。
　　教材往往只是研究问题的基本形式，并用与之相应的习题让学生训练，这样即使把有关问题做遍了，也只能是把握问题的某个方向。因此，教师要挖掘例习题深层次的知识点，纵横联系，多角度地考虑问题，使思维呈现辐射状展开，开阔视野，拓展思维。
　　问题1：某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个。为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x（0　　（1）写出y与x的关系式；
　　（2）为使日利润最大，问x应取何值？
　　解：（1）由题意得：
　　y=［60×（1+0.5x）-40×(1+x)］×1000×(1+0.8x)
　　=2000(-4x+3x+10)(0＜x＜1)
　　（2）要保证日利润最大，则x=-==0.375.
　　问题2：某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2015年1月1日可取回款。
　　A.a（1+x）元B.a（1+x）元C.a（1+x）元D.a（1+x）元
　　问题3：某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下 。
　　A.克B.（1-0.5%）克C.0.925克D.克
　　题组三：发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置。
　　问题1：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
　　解：设今后人口年年平均增长率为1%，经过x年后，我国的人口为y亿。
　　1999年底，我国的人口为13亿；
　　经过1年（即2000年），人口数为13+13×1%=13×（1+1%）（亿）；
　　经过2年（即2001年），人口数为13×（1+1%）+13×（1+1%）×1%=13×（1+1%）（亿）；
　　经过3年（即2002年），人口数为13×（1+1%）+13×（1+1%）×1%=13×（1+1%）（亿）；
　　……
　　所以，经过x年，人口数为y=13×（1+1%）（亿）.
　　当x=20时，y=13×（1+1%）≈16（亿）.
　　所以，经过20年，我国人口数最多为16亿。
　　在实际问题中，经常会遇到类似问题的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为P，经过x次增长，该量增长到y，则y=N（1+p）（x∈N）。形如y=ka（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。
　　问题2：某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为 。
　　A.pB.12pC.（1+p）D.（1+p）-1
　　问题3．2010年我国工农业总产值为a亿元，到2030年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少要达到 。
　　A.4-1B.2-1C.4-1D.2-1
　　问题4．某商品2010年零售价比2009上涨25%，欲控制2011年比2009年只上涨10%，则2011年应比2010年降价。
　　A.15%B.12%C.10%D.8%
　　对增长率的函数模型，由浅入深，层层递进，环环相扣，把思维逐渐引向深入，使学生在轻松中品尝成功的喜悦，既掌握了基础知识，又充分认识了问题的本质，训练了学生的数学思维。
　　学生解题的实质是基本问题的各种各样的变化形式，对教材中的增长率进行变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想激发思维；使学生感到轻松、愉快，在学生的脑海中留下了深刻印象，既分清了问题的变化类型，又把所学知识系统地运用，从中获得概括的知识，把握了基本题中所衍生出的不同类型，使之从单一化、固定化模式中转入多棱化、多角化和多面化模式，从而获得上升性思维能力。
　　在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。教师应该鼓励学生大胆探究与猜想，深刻领悟新课程改革精神，认真研究教学要求，以学生为本，精心设计例习题，以培养学生的合作能力和创新素质为己任，给学生一片自主探索的天空，使学生的创新能力得到培养，个性品质得到和谐发展。
　　总之，在全面推进素质教育的今天，我们要对增长率进行全面合理的设计，面向全体学生，充分发挥增长率的内在潜能，不仅要使学生听懂，而且要拓展学生数学思维，培养学生的创新能力。