数形结合思想在初中数学教学中的作用

　　摘 要： 数形结合思想是解决数学问题的一种重要思想方法，“数形结合”思想就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数学关系和直观的图形结合起来解决数学问题。为提高学生的数学知识，真正实现素质教育，在数学教学中作者注重“数形结合”思想的渗透，使学生的数学能力得到很大的提升。平面直角坐标系是数形结合的桥梁，有了它，一方面，能够借助于图形可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化、直观化。另一方面，能将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。
　　关键词： 数形结合 初中数学教学 作用
　　
　　“数形结合”思想是初中数学教学中最重要、最基本的教学方法。它在初中数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的有效手段。数和形是数学研究客观物体的两个方面，数侧重于物体的数量方面，具有精确性；形侧重于物体的形状方面，具有直观性。华罗庚教授曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”由此可见数形结合的巧妙所在，数形结合的思想方法能扬数之长，取形之优，使得数量关系与空间形式珠联璧合，相映生辉。因此在数学教学中，应不断地引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，使学生的思维得到开阔和发展，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。
　　在推行素质教育的今天，开发学生的创新思维，让学生在创造中学会学习，发挥学生的主观能动性成为重中之重，所以应更多地关注学生的学习方法和策略。数学家乔治·波利亚曾说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”随着新课程改革的不断深入，在“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考查，从基础知识，基本技能，上升到能力的培养。而在新一轮课程改革下的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续地发展，它要求学生通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，会用数学的知识解决生活中的实际问题。那么，作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？
　　下面我们结合中学数学教学的现状，从数形结合思想的重要性、数形结合相关知识点的体现、如何实现数形结合三方面阐述数形结合思想在初中数学教学中的应用。
　　一、数形结合思想的重要性
　　几何本身缺乏严密性，而代数本身却又缺乏直观性。只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。
　　数与形是数学研究的两大基本对象。“数”是指数与式，“形”是指图形与图像。数形结合的思想可以变抽象思维为形象思维，揭示数学本质的东西。
　　直角坐标系的建立可以将代数和几何问题紧密地联系起来，为许多实际问题的解决提供新的思路和策略，对问题的解决产生事半功倍的效果。因而数形结合的重点是研究“以形助数”。
　　1.数形结合思想在有理数中的应用
　　从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示，等等。在实数轴上，相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数，而绝对值表示这个数的点与原点的距离。
　　例1.如上图，在数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则表示下列结论正确的是（）.
　　（A）b-a＞0（B）a-b＞0
　　（C）2a+b＞0（D）a+b＞0
　　分析：本题首先引导学生根据a、b在数轴上的位置，得到a＜－1、0＜b＜1。值得注意的是这一步所得就是由形到数的过程，应引起学生思想上的关注。然后可以利用取特殊值的方法（01c6a6bfa0a0617a2e6bb2a7408fb036如：a=-2，b=），一一代入求解，从而获得答案。这就是完全将图形迁移到数量上来。我们也可以继续利用图形，在数轴上作出诸如b、2a的长度，再利用线段的长短大小、加减和差来比较（A）（B）（C）（D）四个数量关系的正确与否。
　　容易发现，不管是用哪一种方法，都是把图形和数量结合起来的解题，这种巧妙的结合可以使一些纷繁无绪、难以上手的问题获得简解。
　　2.数形结合思想在一次函数中的应用
　　例1.一次函数y=kx+b的图像过A（-3，0），B（0，2）两点，则kx+b＞0的解集是（）.
　　（A）x＞0（B）x＜0（C）x＞-3（D）-3＜x＜2
　　解：由题意知，此一次函数图像为直线，又过点A、点B，已知两点画出图像如下：
　　要使kx+b＞0就是函数值y＞0，联系图像，当x＞-3时，图像均位于x轴的上方，即对应的y=kx+b对应值为正.所以解集是x＞-3，故答案选C.
　　分析：解决此题关键在于利用图像的位置来反应相应的自变量和函数值的范围。若不利用函数的图像，则先要算k、b，再求不等式kx+b＞0的值，那就太繁琐了。
　　通过考查学生对数形结合的思想，可以检测出他们掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识的综合运用能力。在初中阶段训练学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，有助于学生学习抽象的知识，对锻炼相应的数学思维也有极大的帮助。
　　近几年，在我县的中考试卷中，侧重于对数形结合思想方法的考查，所以有必要对此类问题进行一些探讨，为提高教学质量、培养学生养成良好的数学思维方式作出努力。
　　二、数形结合可使抽象、复杂的问题简单化
　　数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路;或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
　　在初中教材中，数的常见表现形式为：实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为：直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。在直角坐标系下，一次函数对应一条直线，二次函数对应一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容。特别是二次函数，不仅仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）所对应的图像的开口、顶点、对称轴，以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分。事实上，a决定抛物线的开口方向，a与b一起决定抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置，与a、b一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c的大小变化。
　　例1.已知方程x－2px＋10＝0有一个根大于1，另一个根小于1，求p的取值范围.
　　分析：由二次函数与一元二次方程的关系知：方程x－2px＋10＝0的两个根是抛物线y＝x－2px＋10与x轴的两个交点的横坐标，因为一根大于1，另一根小于1，所以抛物线y＝x－2px＋10与x轴的两个交点一个在1的左边，另一个在1的右边，且开口向上，如图可知当x＝1时，函数值y＜0，即12－2p＋10＜0，故p＞5.5.
　　以上是有关函数与不等式、方程的问题，解此类问题时要善于将问题中的数与形结合起来进行思考，化难为易，将抽象思维与形象思维融合在一起，通过“以形助数”“以数解形”的数学方法，揭示出隐含在其内部的几何背景，充分体现数形结合解题的有效性，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体、直观化，从而有效地找到解题途径，达到优化解题的目的，同时也能开阔和发展学生的思维。只有牢固掌握这些性质及其相互之间的内在关系，并活学、巧用，才能学好二次函数。
　　三、数形结合的实践教学
　　在有关数形结合知识点的教学过程中，必须掌握等价转换、数形互补的原则。善于数中思形，形中有数，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息。
　　一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探索出解决问题的途径。
　　在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。运用数形结合解题，可以使我们进一步提高解题兴趣，激活思维，开阔思路，提高综合运用多种方法解题的能力，从而提高分析、判断、猜想、推理的能力，真正达到提高数学素质、创新精神和创新能力。所以平时应注重培养这种思想意识，争取做到见数想形，见形列数，以开拓视野。
　　由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通知识之间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助。因而将数形结合的数学思想方法应用到课堂教学及解题训练中，对培养学生思维的广阔性、层次性及能力的提升都将十分有效和有益。
　　
　　参考文献：
　　［1］袁桂珍.数形结合思想方法及其运用［J］.广西教育，2004，（15）.
　　［2］卢丙仁.数形结合的思想方法在函数教学中的应用［J］.开封教育学院学报，2003，（04）.
　　［3］义务教育课标准实验教科书《数学》七年级.
　　［4］义务教育课标准实验教科书《数学》八年级.
　　［5］义务教育课标准实验教科书《数学》九年级.