二次函数在给定闭区间上的最值(值域)求法

　　二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，因此必须熟练掌握它的性质，并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。
　　二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题，更是常见的题型，能够熟练地解决此类问题，也是高考必备的能力要求。借助二次函数的图像，明确其对称轴与给定区间的关系，是解决这类问题的关键所在。下面我就对这一问题的解法谈谈自己的见解，并进行归纳总结。
　　一、轴定区定问题
　　即二次函数的图像的对称轴明确，所给区间具体，只需结合其图像，即可直接求得最值，进而得到其值域。
　　【例1】求二次函数y=-x+4x-2在区间［0，3］上的最大值和最小值。
　　解：∵y=-（x-2）+2且x∈［0，3］，
　　∴当x=2时，y取得最大值2。
　　又∵f（0）＜f（3），
　　∴当x=0时，y取得最小值-2。
　　【例2】求函数y=1-2sinx+2cosx，x∈［-，］的值域。
　　解：y=1-2sinx+2cosx=2cosx+2cosx-1=2cosx+-
　　∵x∈［-，］
　　∴cosx∈［，1］
　　∴当cosx=即x=±时，y=；
　　当cosx=1即x=0时，y=3。
　　所以所求函数的值域为［，3］。
　　【小结】对于二次函数f（x）=a（x-h）+k在区间［m，n］上的最值：
　　若h∈［m，n］，则当a＞0（a＜0）时，f（h）是最小（大）值，且f（m）与f（n）中最大（小）者为最大（小）值；
　　若h?埸［m，n］，则f（x）在区间［m，n］上是单调的，因此f（m）与f（n）中的最大者为最大值，最小者为最小值。
　　二、轴动区定问题
　　即二次函数的图像的对称轴变化，而所给区间具体，这时要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论解决。
　　【例3】已知二次函数f（x）=-x+2ax+1-a（a∈R），求函数f（x）在区间［0，1］上的最大值。
　　分析：抛物线开口方向明确，其对称轴为x=a，由于对称轴位置不定，所以要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论。
　　解：函数f（x）的图像的对称轴为x=a。
　　（1）当a＜0时，（如图1.1），f（x）在［0，1］上是减函数，
　　∴当x=0时，
　　f（x）=f（0）=1-a。
　　（2）当0≤a≤1时，（如图1.2），此时函数的最大值在对称轴处取得，
　　∴当z=a时，
　　f（x）=f（a）=a-a+1。
　　（3）当a＞1时，（如图1.3），f（x）在［0，1］上是增函数，
　　∴当x=1时，
　　f（x）=f（1）=a。
　　综上所述：当a＜0时，f（x）=f（0）=1-a；
　　当0≤a≤时，f（x）=f（a）=a-a+1；
　　当a＞1时，f（x）=f（1）=a。
　　【例4】已知二次函数f（x）=（4-3a）x-2x+a（a∈R），求函数f（x）在区间［0，1］上的最大值。
　　分析：函数的图像的对称轴为x=，注意到参数a对抛物线开口方向及对称轴位置的影响，同时注意对称轴“穿过”区间的不同方式，因此应对参数a进行分类讨论。
　　解：易得函数图像的对称轴为x=（4-3a≠0）。
　　（1）当a＞时，4-3a＜0，从而x=＜0。
　　此时当x=0时，f（x）=f（0）=a。（如图2.1）
　　（2）当a＜时，4-3a＞0，从而x=＞0。
　　①当a≤时，0＜≤，
　　此时当x=1时，f（x）=f（1）=2-2a；（如图2.2）
　　②当＜a＜时，＞，
　　此时当=0时，f（x）=f（0）=a。（如图2.3）
　　综上所述：（1）当＜a＜或a＞时，f（x）=f（0）=a；
　　（2）当a≤时，f（x）=f（1）=2-2a。
　　三、轴定区动问题
　　即二次函数的图像的对称轴位置给定，所给区间变化。这时要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论解决。
　　【例5】已知函数f（x）=x-2x+2在x∈［t，t+1］的最小值为g（t）。试写出函数g（t）的解析表达式。
　　分析：二次函数f（x）=x-2x+2的图像的对称轴方程为x=1，而对称轴可能在区间［t，t+1］的左边，中间，右边。因此分三种情况加以讨论。
　　解：f（x）=x-2x+2的图像的对称轴为x=1，其开口向上。
　　（1）当t＞1时，对称轴在区间［t，t+1］的左边，因此f（x）在［t，t+1］上是增函数，所以g（t）=f（t）=t-2t+2；
　　（2）当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，对称轴在区间［t，t+1］的中间，因此f（x）的最小值在对称轴处取得，所以g（t）=f（1）=1；
　　（3）当t+1＜1，即t＜0时，对称轴在区间［t，t+1］的右边，因此f（x）在［t，t+1］上是减函数，所以g（t）=f（t+1）=t+1。
　　综上所述，可得：g（t）=t+1（t＜0）1（0≤t≤1）t-2t+2（t＞1）。
　　四、结语
　　对于有关二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题，只要把握对称轴与给定闭区间的位置关系，结合二次函数的图像，就会迎刃而解。只有熟练掌握解决这一问题的思路与方法，才能突破这一高考热点，在做题时得心应手，从而在考试中取得优异成绩。