运用数学培养学生的思维能力

　　摘 要： 思维能力是智力的核心。在大力提倡素质教育、创新教育的今天，有意识、有系统地培养学生的思维能力，是一件刻不容缓的事情。数学是人类思维的体操。它在培养人类思维方面有着得天独厚的优势，数学教学应围绕揭示思维过程、培养学生思维能力为目的而展开，引导学生从不同的角度、不同途径去考虑问题，使学生在学习中能举一反三、闻一知十。
　　关键词： 数学教学 思维能力 培养方法
　　
　　一、设置阶梯渐进题型，培养学生的集中思维能力
　　集中思维是指思考中信息朝一个方向聚敛，从而形成单一的、确定的答案的认识过程。这就要求教师在对某一难点问题进行教学时，注意设置阶梯问题，进行连续强化刺激，以达到使学生既掌握知识，又训练思维的目的。如在学习“相似三角形的面积等于相似比的平方”这一知识点时，可以安排下列一组题目：
　　例1.如图1，在△ABC中，DE∥BC，且AD∶DB=1∶2，求S∶S的值.
　　例2.如图1，若DE∥BC，且AD∶DB=1∶2，求S∶S的值.
　　例3.如图2，在△ABC中，DE∥FG∥BC，S=S=S，若BC=15，求FG.
　　注：例1设置简单，可直接运用上述性质得出答案。例2与例1差不多，但仔细观察发现，已知条件和所求的问题都发生了变化，它是例2的发展与延伸。例3是例1、例2的变化与延伸。从培养学生集中思维能力的角度来看，若直接给出例3很容易使学生思维受阻，而通过这一组例题的搭配，保证了学生数学思维过程的畅通性，提高了思维能力。
　　二、设置一题多问题型，培养学生的发散思维能力
　　发散思维是指全面地观察问题，运用多方面的知识去寻求解题方法的一种思维能力。它要求人们思考问题时信息从各种可能的方向扩散，并引出更多新信息、新结论，使学生的解题思路不拘于一个途径，不局限现有的理解，尽可能得出合乎条件的多种答案。
　　例4.如图3，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC与E，求证：BD=CD.
　　本题在不改变题设的情况下，可作如下的引申：
　　引申1：求证：DE是⊙O的切线；
　　引申2：求证：DE=EF•EA；
　　引申3：求证：CE=EF.
　　三、设置相似图形题型，培养学生的变通思维能力
　　变通思维是根据已有的知识结构和经验进行多方位、多层次、多角度分析研究的思维活动，从而创造性地解决问题。这种思维一般通过一题多变等方式来实现。
　　例5.已知，如图4，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别是E、F.求证：EC=DF.
　　变题：如图5，当把CD向上移动，使其与直径AB相交于⊙O内一点P，其它条件不变，问原结论还成立吗？
　　四、设置概念定理题型，培养学生的逆向思维能力
　　对常规思维模式“反其道而行之”，这种不同寻常的思维方式突破了习惯思维的框架，克服了思维定势的约束，符合思维的独特性原则。教师如果能结合教材，设计一些超乎寻常、可作假象性推测的例题，不仅可以丰富学生的想象力，而且能拓宽学生的思路。
　　例6.已知y=（a-1）x是反比例函数，则它的图像在（ ）
　　（A）第一、三象限（B）第二、四象限
　　（C）第一、二象限（D）第三、四象限
　　注：本例的关键是确定反比例函数的解析式。一般来说，学生习惯于根据事物特征运用定义推出事物具有哪些特征。由反比例函数的定义，可得a=-1，所以反比例函数的解析式是y=-，故选（B）。
　　五、设置一题多解，培养学生的求异思维能力
　　求异思维就是另辟蹊径，提出不同意见的一种标新立异的思维活动，它是思维的动力。
cn3OAx+01fbXS0bu1juFfTpxW1Oax/Hj+48l6UptsV4=　　例7.求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高.如图6，已知：在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，EF分别是垂足，BG为AC边上的高.
　　求证：DE+DF=BG.
　　注：本例是三条线段的和差问题。学生对此类问题习惯将三条线段化归为两条线段二用“截长补短”。如果教师善于将学生从定向思维中解脱出来，培养多角度多侧面分析问题的习惯，则本题可有如下几种新思路和新解法：面积法、利用相似三角形知识、利用直角三角形知识等。
　　六、设置数形结合题型，培养学生的形象思维能力
　　将代数问题转换为相应的几何问题，或者将几何问题经恰当处理转化为相应的代数问题，用相应的知识进行解决，这样的数形转换，既可以发展学生的形象思维能力，又是优化思维品质的有效途径。
　　例8.当实数a为何值时，方程|x-4x+3|=a无解、有二解、三解、四解？
　　注：这是个含有绝对值符合的二次方程，如果去掉绝对值，再利用判别式来考查，必然很繁，如果令y=|x-4x+3|，y=a，这两个函数图像容易作出.而要确定方程|x-4x+3|=a的解的个数，从图形上看，就是确定直线y=a与曲线y=|x-4x+3|的交点的个数，如果作出这两个函数的图像，由图形立即可以得到：
　　当a＜0时，方程无解当a=0及a＞1时，方程有两个实数解；
　　当a=1时，方程有3个实数解；
　　当0＜a＜1时，方程有4个实数解.
　　七、设置习题再现题型，培养学生的创造思维能力。
　　调查研究表明：创造力是后天培养和造就的。对学生而言，创造力主要是指思维的创造力。教学中应设置一些学生做过的题目，让学生另辟蹊径，寻找简捷的方法，以达到培养学生创造思维能力的目的。
　　例9.如果一元二次方程ax+bx+c=0的两个根之比为2∶3，求证：6b=25ac.
　　注：多数学生都是先求出方程的两根：x=，再根据条件x∶x=2∶3进行化简，这样的计算非常繁杂，此时教师如果引导学生另辟蹊径，寻找简捷的方法，学生经过思考会得到：根据题意，可设两根为x=2k，x=3k，利用韦达定理得;（2k）+（3k）=-，（2k）（3k）=，联立两式消去k，即可得到结论。
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”