“一个方法”\\“一个中心”的复变函数课程教学模式

　　摘 要：复变函数的教学过程中我们提出“一个方法”、“一个中心”的教学模式。“一个方法”即类比复变函数与实变函数的异同；“一个中心”即以简单闭曲线上的积分f（z）dz为中心来研究复变函数的积分。
　　关键词： 复变函数 复积分 “一个方法” “一个中心” 教学方法
　　
　　复变函数是高等工科院校有关专业的必修基础课，它有自身的研究对象、完美的理论及精湛的技巧，其理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着极为广泛的应用。在教学过程中我们提出“一个方法”、“一个中心”的教学模式。“一个方法”即类比复变函数与实变函数的异同；“一个中心”即以简单闭曲线上的积分f（z）dz为中心来研究复变函数的积分。
　　复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的，在理论研究的各个方面既有区别又有联系。虽然复变函数论有本学科的独立性、完整性，但由于复变函数理论是高等数学的后继课程，复变函数的基本概念和定理都与高等数学理论类似，但又有发展。在教学过程中，可以采用类比的方法教学，所谓类比的方法就是指通过复变函数与实变函数类似之处的比较，由以往在高等数学中获得的实变函数的知识，引出新的处理复变函数的方法。运用“复与实”的类比，“一对二的对应”关系等，激发他们对新知识的认知积极性。
　　1.“一对二的对应关系”。
　　在复变函数中存在很多的一对二的对应关系，即一个复的对应到两个实的。学习的方法是“复的”不方便研究时就可转化为“实的”来研究。
　　1.1复数对应于两个实数，如z=x+iy，复数z对应于两个实数x，y；
　　1.2复函数对应于两个实函数，如w=z，令z=x+iy，w=u+iv，则u+iv=（x+iy）=x-y+2xyi，因而复函数w=z对应于两个实函数u=x+y，v=2xy；
　　1.3复函数的极限对应于两个实函数的极限；
　　1.4复函数的连续对应于两个实函数的连续；
　　1.5复函数的求导对应于两个实函数的求导f′（z）=+i，通过柯西－黎曼方程还可以有其他的表达形式，但都可用两个实函数的偏导来表示；
　　1.6复函数的解析对应于两个实函数柯西－黎曼方程=，=-；
　　1.7复数列的收敛对应于两个实数列的收敛；
　　1.8复数项级数的收敛对应于两个实数项级数的收敛。
　　通过以上“一对二的对应”关系，可以很快地解决极限、求导、解析、级数等问题。在这些方面甚至很多定理都和高等数学中的定理基本相同，让学生体会到对新的复变函数的学习可以很方便地转化为已有知识的问题，能大大地提高学习兴趣。当然除了相同之处还有不同之处，复变函数是以复数为自变量的函数，实变函数是以实数为自变量的函数。因此要认清复数与实数的区别，这样便于把握问题的本质。
　　2.复变函数与实变函数的区别。
　　复变函数论研究的内容和方法与高等数学中的一元微积分相比，有其特殊的方面，二者存在着诸多差异。教学中如何向学生展示二者的联系与差异，揭示复变函数的本质属性，是上好这门课的关键所在。
　　2.1实数可以比较大小，而复数不可以；
　　2.2复变函数极限与实变函数极限的定义的形式都一样，都是利用ε-σ定义的，但是复变函数中z→z在复平面上可以是沿任何方向趋向于z，而实变函数中x→x只能沿实轴从左右两边趋向于x。趋向的方式不同，极限的实质就不相同。因为函数的连续，可导，可微等都是在极限的基础上展开的，由此导致了复变函数与实变函数在连续、可导、可微等定义方面虽然形式相同，但实则又存在着不同；
　　2.3复变初等函数是一元实初等函数的推广，它与实初等函数有许多相同之处，但也有很大区别。比如单值和多值的区别；
　　2.4复变函数积分的定义类似高等数学里积分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取极限等步骤来建立的，但形式像一元积分，而实质像曲线积分；
　　2.5复变函数积分的牛顿—莱布尼兹公式与实一元函数的牛顿—莱布尼兹公式在形式和结果上几乎是完全一致，但实一元函数积分对函数的要求比复变函数积分对函数的要求要低得多。用牛顿—莱布尼兹公式计算复变函数积分，首先要解决的是，积分上下限的两点是否可以包含在一个单连通域内，且被积函数f（z）是否在该单连通域内解析。
　　2.6最大的不同之处是复变函数积分主要研究简单闭曲线上的积分f（z）dz，方法不同于高等数学中的方法，但思想有相同之处。复合闭路定理或留数定理，表达了边界与内部的联系，在高等数学中的牛顿－莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式同样表达了边界与内部的联系。
　　对所讲授的内容进行异同的对比，使学生了解新旧知识的关系，让学生认清复变函数与实变函数的异同，同时培养学生创造性思维。
　　3.复变函数的中心内容是简单闭曲线上的积分f（z）dz，围绕此展开，可以看到它独特的完美结构。
　　f（z）dz型积分是整个复变函数最中心的问题。被积函数f（z）在简单闭曲线C内解析，由柯西－古萨定理得f（z）dz=0；当被积函数f（z）在简单闭曲线C内不解析时，由复合闭路定理，简单闭曲线C上的积分转化为绕内部各个孤立奇点的简单闭曲线C的积分之和，这也是留数定理的主要内容。
　　剩下的问题就是如何解决绕单个孤立奇点的简单闭曲线C的积分，对这个问题逐步深入。
　　3.1先解决dz型，f（z）在简单闭曲线C内解析，可用柯西积分公式。
　　3.2然后解决型dz，f（z）在简单闭曲线C内解析，可用高阶导数公式，当n=1时就是3.1的情形。
　　3.3最普通的形式f（z）dz，可用罗朗级数负一次幂系数c表达。
　　3.4最后是留数，Res［f（z），z］=c，就是罗朗级数负一次幂系数c，只是不用把完整的罗朗级数都得出来，因为只要得到负一次幂系数，就可用留数计算规则直接计算负一次幂系数。
　　4.小结。
　　总之，在教学过程中，要带领学生不断回忆高数中的知识，并从中联想如果放到复变函数中会有什么区别，然后进行探究、比较，认识到复变函数与实变函数的不同，可以做到知识的承前启后的效果，便于我们加深对知识的理解，提升认知的高度。教师的教学不是只要求学生以学到知识为目标，而是希望大家能够做到会学习、会研究；使学生不仅仅了解复变函数的知识，还在学法上得到某种启示，将核心放在思路、方法、能力的培养上。此外，对于工科学生的要求不需要像对数学专业的学生那样严格，教学中尽量做到教学语言“通俗化”，适当减少理论性较强的推导和证明。
　　
　　参考文献：
　　［1］西安交通大学高等数学教研室复变函数［M］.北京高等教育出版社，1978.
　　［2］刘子瑞，梅家斌.复变函数与积分变换［M］.北京科学出版社，2007.
　　［3］宋达霞.浅析复变函数课程的对比法教学［J］.新西部，2009，（14）.
　　［4］谢娟，邱剑锋.复变函数与积分变换教学改革研究与实践［J］.合肥师范学院学报，2009.5，VOL27，（3）.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”