类比思维在高中数学教学和解题中的运用

　　摘 要： 本文阐述了在现行高中数学教学中，加强新、旧知识间，各知识板块及方法之间的联系，依据类比思维的特点，运用类比法进行教学与解题，对学生进行类比思维的培养，提高学生的探究能力、创新素质，从而提高教学效益，实现创新素质教育的要求。
　　关键词： 类比思维 高中数学教学 创新教育
　　
　　类比思维方法是将两个以上事物进行比较，找出事物之间的类似之处，然后再据此推出它们在其它地方的类似之处，或综合它们的特征进行类比。类比思维包括两方面的含义：（1）联想，即由新信息引起的对已有知识的回忆；（2）类比，在新、旧信息间找相似和相异的地方，即异中求同或同中求异。通过类比思维，在类比中联想，从而升华思维，既有模仿又有创新。在高中数学教学中运用类比思维，可激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，使他们的记忆理解能力、分析推理能力等多种智力因素得到充分发挥和发展，从而使整个思维活动在课堂中处于最积极、最活跃的状态，发展学生个性，提高学生的学科探究能力、综合解题能力，落实学科素质教育。下面我就在高中数学教学中运用“类比思维”进行教学和解题谈些体会。
　　1?郾运用类比法教学，沟通新旧知识，深化、丰富教学内容。
　　要开发学生的创造性思维，首先要打好扎实的基础，丰富学生的知识库存。在教学中要特别重视在讲授新概念时联系旧知识，在新旧知识类比中加深理解，开拓思路。
　　例如：在研究数列时，由于等差数列与等比数列在定义和通项公式等方面很相似，因此可以考虑运用类比的方法由等差数列的性质来发现等比数列的性质。等差数列定义：一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，即a-a=d（n≥2，n∈N，d为常数），这个数列叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，通项公式为a=a+（n-1）d；等比数列定义：一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，即a/a=q（n≥2，n∈N，d为常数），这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通项公式为a=a•q。从两个定义上比较目标物与类比物的相似之处，一个是与减有关，一个是与除有关；通项公式一个是和的形式，一个是积的形式。此时引导学生运用类比的思想去考虑和与差，商与积，教师可启发学生去回忆等差数列的相关性质，并思考：如果是等比数列，那相应的性质又应该如何改变呢?
　　如｛a｝，｛b｝成等差数列，有如下性质：（1）若m+n=p+q，则a+a=a+a；（2）｛a+k｝，｛a+b｝仍成等差数列。运用类比思想方法，学生可得到：｛a｝，｛b｝成等比数列，有如下性质：（1）若m+n=p+q，则a•a=a•a；（2）｛k•a｝（k≠0），｛a•b｝仍成等比数列，等等。这样使学生对新知识有似曾相识的亲近感，深化了教学内容，同时也培养了学生严谨的学习习惯。类比的方法有时是获得发现和发明的重要方法。这样的类比在高中数学中还有很多，如正弦函数和余弦函数的图像与性质、圆与球基本性质、椭圆与双曲线的相关几何性质等。运用类比教学方法，既能激发学习兴趣，同时又进行了科学思维和科学方法的示范，学生遇到了新的概念与新的事物也能作类比分析，得到满意的结果。
　　2?郾运用类比法教学，建立知识网络，使知识条理化。
　　随着高中数学学习的深入，学生掌握的知识逐渐形成网络，这里有知识的横向拓宽，也有递进式的深入，学生的知识和能力不断产生质的飞跃，学生的创造性思维的发展就寓于其中了。在这个过程中，类比法是揭示这些知识内在联系的好方法。
　　例如，两个角的和与差正弦公式sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ，sin（α-β）=sinα•cosβ-cosα•sinβ，两个角的和与差的余弦公式cos（α+β）=cosα•cosβ-sinα•sinβ，cos（α-β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ。它们具有相似的数学形式和运算规律。通过类比，学生们对公式记得牢，使用条件清晰，运算起来也就熟练了。
　　通过类比，能较好地弄清它们的使用条件和变化规律，使用起来也不会出现差错。这样的类比，小的方面有形式上的类比、计算方法上的类比、不同概念与规律的类比。大的方面有规律和体系上的类比。例如向量运算与复数运算及意义的类比，圆的切线与割线性质的类比。有的性质和解题思想就是通过类比提出或发展起来的。例如在教过等差数列和等比数列后，我曾引导学生列表比较它们的概念与性质所具有的相似之处，也明确了它们之间的区别，建立起了横向和纵向的联系，建立起知识的网络，使知识条理化，同时也提出了很多新的问题，同学们考虑得更多更细更深刻了，分析归纳能力得到了提高，使创新思维得到调动和及早的萌发。
　　3?郾运用类比法进行相应解题教学，深化了学生对数学解题思想的认识，提高了学生的探究能力和创新能力。
　　教育学家瓦赫捷罗夫说得好：“类比像闪电一样，可以照亮学生所学学科的黑暗角落。”因此在教学中要积极运用类比法进行教学。类比是一个重要的数学创造思想，也是一个重要的数学教学思想。它与数学课程改革相配合，必能在数学教育的课程目标和内容、数学观念和方法等方面生成一定的理论成果，进而更好地指导数学教学。从实践上说，在数学教学过程中培养学生的迁移类比能力，可以改变落后的学习方式和课堂教学模式，可以提高学生的学习兴趣和学习质量，通过展开知识的形成过程，使学生知道知识的来龙去脉，知其然，更知其所以然。从教育目标的观点着眼，通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三、触类旁通的目的，让学生顺利地由“学会”到“会学”，真正实现“教是为了不教”的目的。
　　例如，在课堂中已经解决了这样一道习题：已知圆C：（x-3）+（y-2）=4，若直线mx-y+3=0与圆C相交于M，N两点，且∠MCN≥120°，则实数m的取值范围是?摇?摇?摇?摇。
　　在对应的作业中设计了这样一道题：已知圆C：（x-3）+（y-2）=4，若直线mx-y+3=0与圆C相交于M，N两点，且•≤-2，则实数m的取值范围是?摇?摇?摇?摇。
　　在作业中，还是有部分学生出了差错，讲评时，首先我提出这道题与课堂中的那道题很相似，于是学生纷纷去查找，很快自己悟出了解题方法。
　　再如，（2010年江苏高考第九题）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x+y=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是?摇?摇?摇?摇。
　　在教学中我作了如下分析：设圆x+y=4上的点P（x，y）到直线12x-5y+c=0的距离为1，则=1，即｜12x-5y+c｜=13，也就是12x-5y+c=±13。
　　（1）当12x-5y+c=13时，据题意直线12x-5y+c=13与圆x+y=4必须有两个不同的公共点，则有<2，解得-13　　（2）当12x-5y+c=-13时，据题意直线12x-5y+c=-13与圆x+y=4也必须有两个不同的公共点，则有<2，解得-39　　综合（1）（2）可知满足条件的点P有四个时，实数c的取值范围是（-13，13）。
　　问题解决之后，我并没有就此结束，而是抛出了这样的一个探究引申题：
　　在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-a）+（y-b）=r（r>0），直线l：Ax+By+C=0，试探究圆C上到直线l的距离为m的点P的个数。
　　
　　学生的探究热情高涨，因为有了前面一道高考题的解题引领，学生慢慢地逐步发现研究方法与结论，颇感自豪。现将学生的研究过程与成果呈现如下：
　　分析：首先考虑平面xOy中到直线l：Ax+By+C=0的距离为m的点P应该位于与l平行的两条直线l，l（如图所示）上，问题化归为圆C与l，l交点的个数。设圆心C到直线l的距离为d，则：
　　（1）当r　　（2）当r=d-m时，圆C上满足条件的点P有且仅有一个（如图②）；
　　（3）当d-m　　（4）当r=d+m时，圆C上满足条件的点P有且仅有三个（如图④）；
　　（5）当r>d+m时，圆C上满足条件的点P有且仅有四个（如图⑤）。
　　若用上述结论解2010年江苏高考第九题，则可快速得到c满足的条件为2>+1，解得-13　　使学生经历探究的学习过程，改变学生的学习方式，培养学生的直觉思维能力，通过类比教学可以增强学生的数学运用意识，提高解决问题的能力。
　　4?郾通过类比，介绍知识的新领域，提出新问题，培养和开发了学生创造性思维，并引向科学的前沿。
　　高中数学教材（苏教版）在介绍复数时就采用了类比的方法，实数有加法、减法、乘法、乘方等运算及运算规律。如，若a，b，c∈R，则a+b=b+a（交换律），a+b+c=a+（b+c），a•b•c=a•（b•c）（结合律），a•（b+c）=a•b+a•c（分配律），同样，若z，z，z∈C，则z+z=z+z，z+z+z=z+（z+z），z•z•z=z•（z•z），z•（z+z）=z•z+z•z，同样满足交换律、结合律、分配律等。同时，复数z=a+bi（a，b∈R）由实部a与虚部b共同确定，即一个复数与一对有序数对（a，b）一一对应，于是就提出了新的问题，复数的运算与向量的运算有何联系，又有怎样的区别？这样逐步地揭开新知识的面纱。
　　类比可使知识条理化，它能分清概念和规律之间的相似与差异。从而发展知识的“空缺”，指引了研究的方向。门捷列夫元素周期表就是通过分析归纳抓住各元素的质量排列和电荷数排列，把它们的物理性质和化学性质作类比，从而发现了“空缺”，再有目的、有方向地寻找这些“空缺”对应的元素，并且获得了巨大成功。16世纪，意大利数学家卡尔丹（G.Car-dano，1501—1576）在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，将答案写成“5+和5-”。尽管当时的数学家都认为“5+”和“5-”这两个式子没有意义，是虚构的、想象的，但在解决许多问题中，使用类似于“”这样的式子却带来了极大的方便。那么，能作为数吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？这正是科学家进攻的前沿阵地之一，随着科学家的研究与探索，引进了“虚数”，从而将实数域扩充到复数域，解决了这个难题，建立了相应的运算系统。这些问题的解决，类比法都发挥了巨大的作用。
　　在高中数学教学中紧紧抓住相似、相近概念、图形、运算与推理等，广泛运用类比思维这一突出特点，积极运用类比法进行教学，提高教学效益。充分利用在数学历史上数学家运用类比思维实现知识创新的生动事例，利用教材编写中对知识点进行类比处理的素材，积极对高中数学中相似题型的解题方法进行类比，对学生进行类比思维的熏陶和培养。设置类比性习题，加强类比训练，促进学生类比思维的形成，提高学生的创新素质，努力实现素质教育与创新教育的要求。
　　
　　参考文献：
　　［1］高中数学教材（苏教版）.
　　［2］高中数学课程标准.
　　［3］方青云.类比思想在数学学习中的重要作用［J］.理科教学探索，2006.
　　［4］邓理进.试论数学类比教学的作用［J］.常州师专学报，2002.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”