图像采样系统中常用的数学变换与矩阵

　　摘 要： 在数字图像处理中，为实现图像处理中的多方向分析，教师常通过频域变换和采样系统进行处理。本文针对图像采样系统中的常用变换和采样操作进行了分析和介绍，为进一步设计多方向滤波器组提供了理论依据。
　　关键词： 幺模矩阵 图像采样系统 数学变换与矩阵
　　
　　在信息技术教学过程中，离不开对数字信号的处理，由于图像具有更丰富的信息量，在信息处理中得到了广泛的关注。随着对图像方向性处理要求的提高，为了能够更加多方向地灵活处理图像，Bamgerger和Smith提出了多方向滤波器组（Directional Filter Bank，DFB）［１］，由于DFB在图像处理中的多方向特性，近年来吸引了诸多研究者对方向性滤波器组设计的研究，而这些研究应用的核心离不开对二维图像的变换、滤波和采样操作。文中对图像处理中的傅里叶变换、z变换、采样矩阵、采样操作及滤波器和采样操作之间的等效关系进行了概述和总结。
　　一、二维Fourier变换及z变换
　　设t=［t，t］，Ω=［Ω，Ω］，对于二维的连续信号x（t），其连续时间Fourier变换为X（Ω）：
　　X（Ω）=?蘩x（t）edt（1）
　　同理，n=［n，n］ω=［ω，ω］，对于数字图像而言为二维的离散信号x［n］，其离散时间Fourier变换X（ω）为：
　　X（ω）=x［n］e（2）
　　其中￥表示所有2×1的整数向量集。而其z变换X（z）可以表示为：
　　X（z）=x［n］z（3）
　　其中z=（z，z）z=zzn=（n，n）。
　　二、二维抽样矩阵
　　在利用滤波器完成图像变换的过程中，涉及一些基本矩阵，现分别定义如下：
　　1.抽样矩阵：一个所有元素均为整数的方阵，矩阵对应行列式的值为非0。矩阵的维数等于所要操作信号的维数。
　　2.整数对角矩阵：所有元素值为2n（n为正整数）的对角矩阵。
　　3.五株抽样矩阵（Quincunx Sampling Matrix）：一种所有元素值为±1且对应的行列式的值为2的抽样矩阵。以下是常用的五株抽样矩阵：
　　Q=1 -11 1，Q=11-11 ，Q=-1111 ，Q=-1-11-1，Q=-1 1-1 -1，Q=1-1-1-1。（4）
　　通过五株抽样矩阵Q和Q抽样后的格分别如图1所示［２］。从结果可以看出，抽样后样本数目变成了抽样前的一半，并且抽样后信号相比输入信号旋转了±45°。
　　白点：Q抽样结果。黑点：Q抽样结果
　　4.幺模矩阵（Unimodular Matrix）：对应的行列式的值为±1的整数矩阵。幺模矩阵的逆矩阵也是幺模矩阵。以下常用的四个幺模矩阵：
　　R=1 10 1R=1-101R=1011R=10-11（5）
　　信号通过幺模矩阵抽样前后样本数目没有变化，只是对样本点进行旋转和重新排列。
　　史密斯形式可以对抽样操作分步进行，简化抽样操作。任何一个二维整数矩阵M都可以分解成如下结构：M=UΛV。其中U和V是幺模矩阵，Λ是一个整数对角矩阵。如：
　　Q=RDR=RDRQ=RDR=RDR（6）
　　其中D=2 00 1，D=1002为对角整数矩阵。
　　三、二维采样操作
　　1.格（Lattice）
　　由二维整数矩阵M产生的格用LAT（M）表示，即LAT（M）={t:t=Mn，n∈￥}，M为采样矩阵。接下来所介绍的抽样和插值都是在格上进行的操作［２］。
　　2.下采样（Downsampling）
　　二维M下采样也叫抽样，如图2（a）所示。设输入信号x（n），输出信号y（n），其对应的时域及频域关系如下：
　　y（n）=x（Mn）
　　Y（ω）= X（M（ω-2πk））（7）
　　其中，￥（M）是￥（Mx）的整数向量集，x∈［0，1）。矩阵M=（M）产生LAT（M）的互易点阵。抽样后的样本数目是抽样前的1/det|M|。k称为陪集矢量，由M决定。经抽样操作，会产生频率混叠现象。
　　3.上采样（Upsampling）
　　二维M上采样也称为插值，如图2（b）所示。设输入信号x（n），输出信号y（n），其对应的时域及频域关系如下：
　　y（n）=x（Mn）， n∈LAT（M） 0， otherwise（8）
　　Y（ω）=x（Mn）e=x（m）e=X（Mω）（9）
　　Y（z）=X（z）（10）
　　4.Nobel等效
　　根据Nobel等效［３］，在图像处理中滤波器和抽样之间可以进行顺序变换，如图3所示采样和滤波器偶顺序不同但是输出结果等效。
　　在图像的多方向滤波器组的设计中，我们可根据需要进行图像变换，再通过抽样和插值等操作完成图像信息的方向旋转和逆旋转，从而实现对图像中纹理信息的多方向性分析。上述变换和理论是实现图像多方向分析的研究数学基础，逐渐得到了广大图像处理研究者的关注。
　　
　　参考文献：
　　［1］Bamberger R H and Smith M J T. A filter bank for the directional decomposition of images:theory and design［J］.IEEE Trans. on Signal Processing， Apr.1992，40（7）:882-893.
　　［2］Hong P S. Octave Directional Decompositions ［D］.Ph.D. Thesis，School of Electrical and Computer Engineering Georgia Institute of Technology，2005.
　　［3］Park S.New Directional Filter Banks and Their Applications in Image Processing ［D］.PhD. thesis，School of Electrical and Computer Engineering Georgia Institute of Technology，1999.
　　［4］Gyaourova A，Kamath C，and Fodor I K.Undecimated Wavelet Transforms for Image De-Noising［R］.LLNL Technical report， 2002.
　　注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”