数学解题中常用的几种思想方法

　　摘 要： 本文通过例题解析形式，阐述了在中学数学解题中常用的数形结合、整体性、分类讨论、类比联想、逆向思维、化归转化和构造性等七种思想方法。
　　关键词： 中学数学 数学思想方法 例题解析
　　
　　数学思想是指人的意识对现实世界的空间形式和数量关系进行思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识.数学方法是指以数学为工具进行科学研究的方法.数学思想与数学方法是数学知识的核心和灵魂，是学生获得数学能力必不可少的组成部分.本文结合部分例题介绍了几种基本的数学思想方法.
　　1.数形结合的思想方法
　　数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性.
　　2.整体的思想方法
　　整体思想就是考虑问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意点和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察和分析，从宏观整体上把握问题实质，把一些彼此独立但又紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法.整体思想在处理数学问题中有着广泛的应用.
　　例1：若x+x-5=0，求代数式2x+2x-9的值.
　　分析：如果是先通过解一元二次方程x+x-5=0求得x的值，然后再代入2x+2x-9从而求出代数式的值，显然方程的解有两个，且都为无理数，因此在代入的时候要分情况讨论，而且计算也容易出错.但是当我们把x+x看成一个整体时，这题就变得非常简单了.
　　解：因为x+x-5=0，所以x+x=5，所以2x+2x-9=2（x+x）-9=2×5-9=10-9=1.
　　3.分类讨论的思想方法
　　教材中进行分类的实例比较多，分类教学不仅可以使学生明确分类的重要性：一是使有关的概念系统化、完整化；二是使被分概念的外延更清楚、更深刻、更具体；还能使学生掌握分数的要点方法.教材中进行分类的实例比较多，这里就不再累述.
　　4.类比联想的思想方法
　　数学教学在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设或猜想，从而把已知事物的属性推广到与之相似的新的事物中去，促进发现新结论.例如数学题中只要是要求在已知××上找一点，使这点到已知两点的距离和最小，我们的思路都是：找对称点，把问题转化为两点之间线段最短的问题.
　　5.逆向思维的思想方法
　　逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题.
　　例2：有10个不同的球，其中4个为红球，6个为白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分.现从这10个球中取出4个，使总分不低于6分的取法有多少种?
　　解：若使取球4个，只能是取得4个球中至少有2个是红球，所以可以考虑先看问题的反面.由“取出4个球中至少有2个是红球”的否定事件是：一、没有一个是红球，全是白球，取法有C种；二、有一个是红球，三个是白球，取法有CC种.
　　所以使总分不低于6分的取法有C-C-C14C=105种.
　　6.化归转化的思想方法
　　化归是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的基本解题模式，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想方法.我个人认为这种思想和类比的思想是孪生兄弟.
　　7.构造性的思想方法
　　构造性的思想方法就是运用数学中的概念和方法构造出适当的数学模型从而达到解题的目的.这种思想方法在我们用数学知识解决实际问题时常用，或许说必用更客观.
　　例4：某中学要印刷本校高中录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务.甲厂优惠条件是每份定价1.5元，八折收费，另收900元制版费；乙厂的收费条件是每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠，且甲、乙都规定，一次印刷数量至少是500份，如何根据印数数量选择比较合算的方案？若印刷数量为2000份，应选择哪个？费用是多少？
　　解：设印刷份数是x份，收费为y元，依题意得
　　y=1.2x+900，x≥500且为整数.
　　y=1.5x+900，x≥500且为整数.
　　若y＞y，即1.2x+900＞1.5x+900，解得500≤x＜1200.
　　若y=y，解得x=1200.
　　若y＜y，解得x＞1200.
　　所以当500≤x＜1200时，选择乙厂，当x＞1200时选择甲厂，当x=1200时，两厂费用相同，费用为3300元.
　　本文主要介绍了七种常用的数学解题的思想方法，并相应给出一些例题加以说明.最后我要强调的是：学有法，但学无定法，贵在得法，重在创造.
　　
　　参考文献：
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