利用数学习

　　摘 要： 数学习题课教学是深化理解、掌握课本知识的重要手段，教师在教学中将“封闭题”变成灵活的“开放题”，变习题、变解法、变思维角度、变代数为几何所用、变一问为多问。不仅使学生能牢固掌握知识，而且可以培养学生的发散思维、求异思维、创造性思维、广阔性思维等，对学生的发展起着重大作用。
　　关键词： 习题教学 思维能力 培养方法
　　
　　学习除了学习知识外，还要培养学生的思维能力，进而培养学生的创新意识和创造能力。数学中的习题教学就是培养学生思维能力的良好土壤。现在的教材并没有提供足够的探究题，那么能培养学生思维能力的好习题从哪里来？实际教学中我从以下几个方面进行了探索与尝试。
　　一、变换习题
　　它是指变换题目的条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变。如：
　　例1.若a，b∈R，则（a+b）（+）≥4
　　推广1：若a，b，c∈R，则（a+b+c）（++）≥3
　　推广2：若a∈R（i=1，2，…，n），则（a+a+…+a）（++…+）≥n
　　通过对习题的推广，可以使学生由浅入深地逐步解决问题，形成多层次的活动经验系统，使学生的数学思维能力向更深层次发展，增强学生寻求数学规律的意识。
　　二、变换思维角度
　　学习中我们的思维会有一定的定势，想当然的将题目的一些条件理解为我们惯用的条件，这样就会忽视条件的可变性，导致问题考虑不全面。如：
　　例2.已知：△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，∠ABD=2∠DBC，且△ABD是等腰三角形，求∠A的度数.
　　［分析说明］题中条件“△ABD是等腰三角形”在利用时，就要注意属于可变性条件。变化就在于△ABD的哪个角是顶角，哪条边为腰，可以这样分类讨论：
　　1.若∠A是底角，AB是底边，则AD和BD为腰；
　　2.若∠A是底角，AD是底边，则AB和BD为腰；
　　3.若∠A是顶角，则AB是腰，另一腰必为AC，此时D与C重合，不合题意，舍去。
　　综上所述，对题中条件的可变性分析提高了学生思维的发散度［２］。考虑各种可能的情况，并给出相应的图形，是解一些几何习题的关键。所以在教学中应加强对学生发散思维能力的训练和分类讨论等数学思想方法的渗透，提高思维的变通性。
　　三、变代数为几何所用
　　平面几何中一些常见的几何量，如面积、长度等，兼有“数”和“形”两方面的特性，解题时如能善于抓住图形中的数量关系，就可有效地利用代数知识解决几何问题。［１］
　　例3.四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积。（2003年山东烟台市中考题）
　　［分析说明］由题意，直角三角形边长为定值，但是它的直角边的取值是可变的。我们用字母a，b表示直角边长，由条件列出关于a，b的方程，进而计算小正方形的面积。
　　解：设直角三角形的两边长分别为a，b（其中a﹥b），则小正方形边长为a-b，且a+b=5a+b=13
　　∴小正方形的面积（a-b）=2（a+b）-（a+b）=2×13-5=1
　　由形思数，以数辅形，从图形开始联想，构造出与之对应的数量模型，充分发挥数形结合的作用，巧妙求解。
　　四、变一问为多问
　　教师给出特定的问题，先让学生解答，再由学生自己编制习题，就可使题目中的“一问”变为学生自己的“多问”。［３］在“线面垂直的证明与应用”一课中，我先和学生一起解决了如下的问题：
　　例4.如右图，在边长为1的正方形ABCD—ABCD中，证明：B0⊥平面ABCD.
　　在学生解完问题以后，根据题目的结论学生自己编的题目有：
　　1.求点B到平面ABCD的距离；
　　2.求直线BC到平面ABCD的距离；
　　3.求直线BD与平面ABCD所成的角，等等。
　　此题中，学生对原有信息进行了合理的猜想和推理，推陈出新中，为题目注入了新的活力，发散思维和求异思维得到了进一步的培养。
　　对习题一系列的“变”就形成了一系列的探究，课堂变得开放，学生的探索变得主动，思考变得积极，在“变”中发散思维等都得到了启发和发展，学生所表现出来的主动性、创造欲、应变力明显增强，对学生将来学习能力的提高和学习兴趣的培养起到了有力的推动作用。
　　
　　参考文献：
　　［1］周圣东.代数方法在几何问题中的应用［J］.初中数学教与学，2005，（11）：10.
　　［2］谢景力.数学变式教学的认识与实践研究［D］.湖南师范大学，2006.65.
　　［3］曹文静.新课标下数学习题教学的探索［J］.中学数学教学参考，2009.9.
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