走在多向思维的大道上

　　数学教学的本质是思维过程，传统的应试性教学过程不能代替知识形成过程的教学，多向性思维教学既能体现概念的形成过程，活跃课堂的教学气氛，又能使学生学得轻松，这里我结合实例谈谈自己的实践与体会。
　　一、走出单向思维的误区
　　在课外活动时，我引用了一道趣味题：将厚度为0.1mm的纸对折30次后，有多厚？多数同学认为我是在开玩笑，即答，这是一种典型的单向思维的表现，可谓走入了单向思维的误区。但当时，我并没有纠正，而作“不反应”的态度。这样，同学们进行了反思，原来它既是一道与数列相关的问题，又涉及对数计算问题。
　　为什么会走入“误区”，或者是不经意，或者是对题意“对折”的概念搞不清，这些都是单向思维的习惯性反应，类似的实例，在教学中常碰到。
　　二、踏上多向思维的大道
　　例1.设x、x∈R，且x≠x试确定x+xx+x的正负性.
　　貌似简单的命题，最能激发学生的兴趣，多数同学有如下解法：
　　解法一：
　　①若xx=0由于x≠x，所以x与x中有且仅有一个为0.
　　∴x+xx+x＞0；
　　②若xx＞0，显然x+xx+x＞0；
　　③若xx＜0，由于x+xx+x=（x+x）-xx＞0，即
　　x+xx+x＞0；
　　由①②③可知，总有x+xx+x＞0.
　　上解法的③用了配方法，能否只用配方法解决原命题？有：
　　解法二：
　　x+xx+x=（x+）+x.（下解略）这种解法比解法一简便。
　　再问：x≥0，x≥0，则x+x有什么结果？
　　解法三：
　　x+xx+x＞2|xx|+xx（讨论去绝对值符号得解）.
　　解法四：
　　∵x≠x∴x+x＞2|xx|≥|xx|≥-xx，x+x+xx＞0.
　　同学们热情高涨，说：原来原命题是这样“编”出来的。
　　我再问：难道我们的眼光就只在“数”x、x上转吗？把“数”放回“大本营”——函数中去.
　　解法五：
　　令f（x）=x+xx+x，由于△=x-4x=-3x＜0（x≠0），因此f（x）＞0.
　　三、提高多向思维的能力
　　1.看。集中精力看题材，反复多次默题，仔细理解题意，特别注意命题中的关联词、句、符号的意义（一般地，“，”与“{”表示求交集的意思，“、”与“；”表示求并集的意思）。要高观察能力，“看”是前提。
　　例2是：设a＜b，c＜d，2a+3b=2c+3d，d-c≤b-a则a、b、c、d大小排列顺序是?摇?摇?摇?摇.
　　“直看”此题，还真有点眼花，如果按如下重排命题：
　　a＜b，c＜d，2（a-c）=3（d-b），a-c≤b-d，
　　看起来简单多了。
　　由以上方程组可以推出：
　　a＜b，c＜d，（d-b）≤b-d，a-c≤（a-c），?圯a＜b，c＜d，d≤b，a≤c，?圯b≥d＞c≥a.
　　例3:已知a，b∈R，且a+4b=1，求a+4b的最小值.
　　初看此题，是纯代数求最值的问题，易得：
　　解法一：将a=1-4b代入a+4b中，得f（b）=20b-8b+1，则f（b）的值即为所求（下解略）.
　　引导同学：a、b是两个变化的量，则
　　解法二：令x=a，y=2b，
　　则a+4b=x+y=.又观察上式的外表：这是原点的直线x+2y-1=0的距离的平方d=（）=，则即为所求.
　　再把原命题进一步充实，略改已知：a、b∈R，则有
　　解法三：∵a+4b=1，故令a=sinx，4b=cosx，则
　　a+4b=sinx+4×=（4sinx+cosx）
　　=（5sinx-2sinx+1），当sinx=-=时，（a+4b）=.
　　2.实验。数学归纳法中，结论一般从有限次的实验中得来的。
　　例4：在则2•2小方块组成的大正方形内，挖去一小方块
　　
　　后，总能用由三小块组成的“”形块铺满，试证之.
　　
　　面对命题，学生大多束手无策。此时，我要求学生做n=1，2的两种情况的实验，学生很快发现本命题是一道有关数学归纳法证明的习题，但对这样的应用题要用数学归纳法证明，他们会感到生疏，一时不知从何下手。这时我指出：由于图形的对称性，n=2时有且仅有如下三种情况（如图所示）。这时，学生的思维活跃起来（图中阴影部分表示挖去那小块）。
　　假设2•2块正方形中，依题意能够铺满，如何进一步证明2•2块的正方形中也能铺满呢？难点暴露了，我却袖手旁观，学生议论纷纷。片刻，我提示说：“事物总是存在矛盾的两方面‘铺’、‘挖’不是完成这道习题的两个方面吗？”同时指出2•2=4（2•2）学生对右图中的A部分依题设先挖去一块由假设可铺满，但B、C、D三部分只要用一块“L”形块（如图双影表示）先铺好，那么B、C、D等待再铺的情况与A（假设）完全相同了。这里用“铺”代表“挖”的巧妙实施，对开发和提高学生的多向思维能力，可以起到非凡的作用。
　　3.小结。抽象概念的获得与巩固，除了要很好地了解概念的形成过程外，还要挖掘概念的外延的对象。小结有利于智力的开发，有利于提高多向思维能力。华罗庚所说的“善于把书读薄”就是这个道理。
　　如本文例3是同一个问题可以覆盖不同的类型的知识点，例4实际是“2-1能被3整除”的实际应用题，解决了问题，上升为理论，养成这样的“小结”习惯，多向思维也会成为习惯。
　　四、优化选择多向思维的对象
　　对同一道习题存在的多种解法中，选择最优的一种（或几种）加以净化，能够给多向思维带来新的乐趣。
　　如课本中有这样一道习题：求证“两椭圆bx+ay-ab=0，ax+by-ab=0的交点在以原点为中心的圆周上，并求此圆方程，用解方程组的方法求出四个交点和用两个方程直接相加的方法都可以求其轨迹方程，但前者繁，后者简。本文例3的解法三，如果不将“a、b∈R”改成“a、b∈R”本命题就不适用了。
　　优化多向思维的成果不单是“哪种解法简便的问题”，更主要的是得出一些经验，并用以开发新的领域，如用图像的基本知识，去解某些含参数的不等式，很方便。
　　例5：（1）解关于x的不等式|x|＞ax，（a∈R）.
　　（2）若a＞0，使不等式|x+4|+|x-3|＜a，在R上解集为空集的常数a的取值范围是?摇?摇 ?摇?摇.
　　在这两道习题中，如果用绝对值的定义去解，比较麻烦，但在（1）中作y=|x|，y=ax（直线系方程）的图像；在（2）中作y=|x-4|+|x-3|和y=a的图像（图略）作答就很方便了。答案：（1）①-1＜a＜1时，x∈R且x≠0;②a≥1时，x＜0;③a≤-1时，x＞0.（2）0＜a≤1.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文