概率与统计中的常见错误剖析

　　摘 要： 概率与统计是中学数学教学中的重要部分，也是学生的难点之一，本文作者就概率与统计中的常见错误进行剖析，以引导学生正确理解和运算。
　　关键词： 中学数学 概率与统计 错误剖析
　　
　　一、对各事件概念理解不透彻，滥用公式
　　例1.抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B）.
　　错解：∵P（A）＝=，P（B）＝=.
　　∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＋＝1.
　　剖析：出现1或3时，事件A、B同时发生，故事件A、B并不互斥.
　　正解：将A+B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件C，出现“5”为事件D，则C与D两事件互斥，故P（A+B）＝P（C+D）＝P（C）+P（D）＝+=.
　　例2.某种产品100件，其中有5件是次品，现从中任意抽取5件，求恰有1个次品的概率.
　　错解：由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复试验概率公式，得5件产品中恰有1件次品的概率为P（1）=C（1-）=0.2036.
　　剖析：从100件产品中任取5件，可当作抽了5次，每次抽1个，但无论每次抽到次品还是正品，都影响到下一次抽到次品或正品的概率，故该试验不是独立重复试验.
　　正解：设恰有1个次品为事件A，则P（A）==0.2214.
　　二、混淆“互斥”与“独立”，张冠李戴
　　例3.有10件产品分三个等级，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任取2件，求取出的２件产品同等级的概率．
　　错解：分别记“取出2件一等品”、“取出2件二等品”、“取出2件三等品”为事件A、A、A，依题意知，事件A、A、A相互独立，
　　∴P（A）=P（A•A•A）=P（A）•P（A）•P（A）=••=.
　　剖析：本题错解的原因是把互斥事件当成相互独立事件来考虑，实际上，A、A、A不可能同时发生，是互斥事件.
　　正解：P（A）=P（A+P+A）=P（A）+P（A）+P（A）=++=.
　　点评：不可能同时发生的两个事件A、Ｂ叫做互斥事件.若事件A（或B）是否发生对事件B（或A）的发生没有影响，则A、B叫做相互独立事件.一般情况下，互斥与相互独立是两个互不等价，完全不同的概念．
　　三、审题时思维欠严密，或重或漏
　　例4.甲、乙两个单位分别独立地从10名应聘人员中招聘工作人员各2名，那么至少有1人被甲乙两个单位都录用的概率是多少？
　　错解1：设至少有1人被两个单位都录用的事件为A.则基本事件总数为CC，事件A包含的结果有个CCC，这里C是确定被两个单位都录用的方法数，而CC是在剩下的9人中两单位独立招1人的方法数.故P（A）==.
　　错解2：事件A包含的结果有CA个，这里A表示从9人中任选两人分别进甲、乙两单位，故P（A）==.
　　剖析：错解1中，事件A所包含的结果出现重复，比如：若C确定的是a，而CC时两个单位都选中b，与若C确定的是b，而CC时两个单位都选中a，是同一种结果.
　　错解2中，事件A所包含的结果是有且仅有1人被两个单位同时录用.遗漏恰有2人被两个单位同时录用的情况.
　　正解：事件A包含的结果有CA+C个，恰有1人被两个单位同时录用的结果有CA个，恰有2人被两个单位同时录用的结果有C个，所以P（A）==.
　　四、忽视随机变量取值范围，画蛇添足
　　例5.设随机变量的概率分布为
　　错解：由分布列的性质知9a-a+3-8a=1，解得a=或.
　　剖析：上述解法中应用性质P（i=1，2，…）时，忽略了另一性质0≤P≤1（i=1，2，…），当a=时，3-8a=-＜0，不符合后一条性质，必须舍去.
　　正解：9a-a+3-8a=10≤9a-a≤10≤3-8a≤1，解得a=.
　　五、误读随机变量取值的实际意义，盲目下手
　　例6.某射手每次命中目标的概率为0.15，现该射手连续向某目标进行射击，如果命中目标，则射击停止，否则继续射击，直到命中目标，但射击次数最多不超过10次，设该射手射击次数为，则P（η=10）=?摇?摇?摇?摇?摇.
　　错解：P（η=10）=0.85×0.15.
　　剖析：本题错解的原因是没有明确随机变量η取值的实际意义，由于射击次数不超过10次，因此η=10表示前9次射击未中目标且第10次可能击中也可能未击中目标两种情况，而错解只考虑到第10次击中这种情形．
　　正解：P（η=10）=0.85×（0.15+0.85）=0.85.故应填0.85.
　　六、忽视抽样方法的本质，劳而无功
　　例7.某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所在行业分为10类，然后每个行业抽1000个家庭进行调查，这种抽样是（ ）
　　A.简单随机抽样B.系统抽样
　　C.分层抽样D.不属于以上几类抽样
　　错解：C.
　　剖析：由于每类家庭数不同，所以每个行业抽1000个家庭进行调查，每个家庭被抽到的概率也不同，而A、B、C这三种抽样均是等概率抽样.
　　正解：D.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文