三角函数问题中的数学思想

　　摘 要： 三角函数问题是中学数学重要内容之一，在数学的各个分支都有广泛的应用，同时也是历年高考的一个热点。三角函数问题中所蕴涵的数学思想，更值得我们在教学过程中去开发和领悟。本文探讨了三角函数问题中的多种数学思想方法。
　　关键词： 中学数学 三角函数问题 数学思想
　　
　　一、数形结合思想
　　数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题.可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系.体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图像求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等.
　　例1.比较sin，cos，tan的大小.
　　解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，但如果我们注意到，，相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分比较它们各自函数值的大小.
　　如图所示，
　　设a=sin，b=cos，c=tan，
　　可知，b＜0＜a＜c，
　　因此，cos＜sin＜tan.
　　二、分类讨论思想
　　分类讨论是一种重要解题策略，“分类”，相当于缩小讨论范围，故能使复杂问题简单化，从而将问题化整为零，各个击破.体现在三角函数值受角所在象限的影响，在不同的象限有不同的三角函数值，因此就应根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论.
　　例2.化简：cosπ+α+cosπ-α，（n∈Z）
　　解析：原式=cosnπ++α+cosnπ--α
　　（1）当n为偶数即n=2k，（k∈Z）时：
　　原式=cos2kπ++α+cos2kπ--α
　　=cos+α+cos+α=2cos+α
　　（2）当n为奇数即n=2k+1，（k∈Z）时：
　　原式=cos2kπ+π++α+cos2kπ+π--α
　　=-cos+α-cos+α=-2cos+α
　　∴cosπ+α+cosπ-α=（-1）2cos+α
　　三、转化与化归思想
　　把所研究的问题转化为与之等价的问题，将陌生问题转化为熟悉问题，从而于找出问题的解决方法.体现在三角函数中就是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题.
　　例3.求函数y=tanx+cotx-secx-cscx，x∈-，0的值域.
　　解析：先切割化弦，统一函数名称，
　　得y=+--=.
　　令t=sinx+cosx，则sinxcosx=，t=sinx+
　　因为x∈-，0，所以t∈（-1，1）
　　于是求原函数的值域就转化为求函数y=-，t∈（-1，1）的值域，解得y∈（-∞，-1）.
　　因此，原函数的值域为（-∞，-1）.
　　四、整体的思想
　　体现在三角函数中主要是利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等.
　　例4.已知为三角形的一个内角，且满足sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.
　　解析：由条件和问题联想到公式（sinx±cosx）=1±sinxcosx，可实施整体代换求值.
　　由sinx+cosx=两边同时平方，得sinx+2sinxcosx+cosx=，
　　即2sinxcosx=-.
　　因为（sinx-cosx）=1-2sinxcosx=，
　　又因为x为三角形的一个内角，sinx+cosx=＞0，2sinxcosx=-＜0，
　　所以sinx＞0，cosx＜0，则sinx-cosx＞0.
　　所以sinx-cosx=.
　　五、函数与方程思想
　　三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想.体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最直接体现.
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