基于新课标下的高中数学方法论研究

　　摘 要： 本文对数学方法论进行了界定和分类，指出高中数学方法论的特点、蕴含的思想，以及对数学教学的意义，并详细说明了数学方法论在新课标下的注意事项。
　　关键词： 新课标 高中数学 数学方法论 数学教学
　　
　　如何按照数学家的思维模式去进行思维呢？我根据多年的教学经验给出数学方法论的涵义。
　　1.数学方法论的界定和分类
　　1.1界定。
　　我国著名数学家、数学方法论的倡导者徐利治先生指出：“方法论(methodology)就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问。”数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法，以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。数学方法论很大程度上可以被说成对于数学思想（维）方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维。通过对具体数学事例的研究实现对真实思维过程的“理性重建”，获得各个方法论原则的深刻体会，并使之真正成为“可以理解的”“可以学到手的”和“能够加以推广应用的”。
　　1.2分类。
　　数学科学和数学史料是数学方法论的源泉，同时，数学方法论还涉及哲学、思维科学，心理学、一般科学方法论、系统科学等众多的领域。一般情况下，数学方法论分为以下两类：数学宏观方法论和数学微观方法论。
　　数学宏观方法论所研究的是整个数学的产生、形成和发展的规律，数学理论的构造，以及数学与其他科学之间的关系。研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史，另一条主要途径是研究数学理论体系的构造。
　　数学微观方法论所研究的是一些比较具体数学方法，特别是数学发现和数学创造的方法，包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论，等等。
　　2.高中数学方法论的特点
　　数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用，许多比较困难的重大问题的解决，往往取决于数学概念和数学方法上的突破，如历史上古希腊三大尺规作图难题，就是笛卡尔创立解析几何之后，数学家们借助解析几何，采用了RMI［关系(relationship)—映射(mapping)—反演(inversion)］方法，才得到彻底解决。这又启发了后来的数学家们采用类似的办法解决了欧氏几何与实数理论的相对相容性问题。
　　新课标下，高中数学教学特别强调数学思想和方法，主要表现在以下几个方面。
　　2.1数学方法论的理论研究得到了发展。
　　对数学方法论的早期研究，十七世纪就已经开始了，法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼兹都曾做过这方面的探讨。历史上不少著名的大数学家，如欧拉、高斯、希尔伯特等人也曾就数学方法沦的问题发表过许多精辟的见解。但是，对数学方法论进行系统的研究，还是最近几十年的事，在这方面作了突出的贡献，当首推美国数学家和数学教育家波利亚。最近几十年来，由于现代电子计算机技术已经进入了人工智能和模拟思维的阶段，就更加促使数学方法论蓬勃发展起来；信息论，控制论、认知科学和人工智能的最新研究成果相继引进了数学方法论的领域。
　　1980年出版的《中学数学教材教法》中涉及“一些基本的数学思想和数学方法”，这里的数学思想和方法就是数学方法论。进入80年代之后，数学方法论有很大的发展。南京大学郑毓信教授在《数学方法论》一书中有一段意味深长的开头：“数学方法论现今对于我国数学界、特别是数学教育界已不是一个陌生的名称……”特别是在徐利治教授的倡导下，数学方法论的研究已经形成了一个影响全国的气候。
　　2.2数学方法论中的思想。
　　2.2.1抽象化思想。小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期。中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期。高等代数用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统——向量空间、欧氏空间。随着概念抽象化程度不断提高，数学研究的对象急剧增加。
　　2.2.2化归思想。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。中学数学中，化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，从一切角度利用诱导公式都可以化成锐角形式来求其三角函数值，这些都用到化归思想。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化为熟悉，复杂化为简单，抽象化为直观，含糊化为明朗。
　　2.2.3分类讨论思想。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其分类的原则，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值的不同会导致结果的不同。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。
　　2.2.4类比推理思想。波利亚曾说：“类比是一个伟大的引路人。”在中学数学中，由两个数学系统中所含元素的属性在某些方面相同或相似，推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式被称为类比推理，运用类比推理的模式解决数学问题的方法称为类比法。在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质；由两直线的位置关系类比推理两平面的位置关系；中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，类比建立平面上和空间直角坐标系中点的坐标。
　　3.数学方法论对数学教学的意义
　　数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学有助于我们将数学课“讲活”、“讲懂”、“讲深”。
　　3.1数学课程目标改革的必然要求。
　　目前新课标下的数学课程改革，强调“情感态度与价值观”，强调数学学习的“过程与方法”，强调“探究与发现”。在这种理念下，要使数学新课程改得以有效实施，教师就必须加强和重视数学方法的学习和研究，这样对教材才有正确清楚的认识。
　　3.2数学课堂教学现代化的改革要求。
　　现在的数学课堂不再是单纯的“传授式”教学，新课标明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”意在进一步改变数学的教学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间，关注学生数学素养的提高。而数学方法论在教学实践中以“问题解决”为中心组织教学，强调“数学的思维”，把问题作为载体，将数学思维方法的分析渗透到具体数学知识内容的教学中，使学生真正看到思维的力量，并使之成为可以理解的、可以学会的和能够加以推广应用的知识。
　　3.3数学教师专业化发展的客观要求。
　　数学教师的专业发展，不仅要掌握深厚广博的数学基础，而且要了解数学发展的学科历史，掌握数学的思想方法，深刻领会数学的内在本质，懂得其来龙去脉及数学的价值。对于从事数学教学的教师，不能不懂得数学发现的原理、规则和思想方法，它们能使我们在数学教学中更好地驾驭教材，把数学教学变得更为生动，教出方法、教出发现、教出创新。因此，数学方法论是数学教师专业发展及自身成长的必备知识。
　　四、数学方法论在教学实践中注意的问题
　　数学方法论是一门实践性的学科，它在教学实践中主要体现在数学思想方法的教学和数学思维的培养。在教学中，应重视如何能将所学到的各种方法和策略应用到实际的数学活动中去，包括以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。
　　
　　4.1关注学生最近发展区。
　　在贯彻数学思想方法地教学中，要关注学生的最进发展区，尽可能帮助学生掌握现代数学思想方法并根据学生的差异，采取不同的思想方法，帮助学生完成学习迁移。布鲁姆认为，教育的基本任务是找到这样的策略，既考虑到个别的差异，又能促进个体最充分地发展。因此，教师应尽可能设计有利于学生发展的教学环节，如在教学设计、课堂探究等过程中，都应该注意不同层次的学生能不同程度地领会数学思想方法，使全体学生尽量使用数学思想方法分析问题、解决问题，最终使每个学生的数学水平都有所发展。
　　4.2设计数学情境，培养数学直觉。
　　数学直觉是一种不包括普通逻辑推理过程的直接悟性，它的思维方式是有其特别之处的。培养直觉思维，我们还要从数学的发现过程入手证明问题。现行的数学教材都是经过逻辑加工好的数学形式，定理的证明及公式的推导一般都是按照编排好的逻辑演绎方式进行讲授。在证明问题前，如果能先将数学结论获得前的推测简要地重现给学生，或者将自己对结论的猜测告诉学生，又或者创设情境让学生去猜测、提出疑问等引导学生探索“发现”结论将有助于培养学生的数学直觉。比如说下面例题：
　　椭圆+=1的焦点F、F，点P是椭圆上的动点，当∠FPF为钝角时，求点P横坐标的取值范围。
　　分析：点P在椭圆上运动，要使∠FPF＞90°，凭借直觉，首先想到当∠FPF=90°时，点P的位置在哪里呢？又根据平面几何知识可知点P又在以FF为直径的圆周上，所以当∠FPF=90°时，点P为圆和椭圆的交点，由对称性有-＜x＜。
　　根据直觉思维考查问题，还要重视各个元素之间的联系，以及系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向并选取数学问题供学生训练，同时引导学生利用已有的知识去猜想、发现、最后论证。“直觉无处不在，直觉为我们打开发现真理的大门”。直觉思维是人类基本的思维形式。在数学教学中进行上述思考和探索加上善于联想数形结合，就一定能提高学生的直觉思维能力。
　　
　　参考文献：
　　［1］徐利治.数学方法论选讲［M］.华中工学院出版社，1983.
　　［2］马忠林，郑毓信.数学方法论［M］.南宁：广西教育出版社，2007.2.
　　［3］郑毓信.数学方法论入门［M］.浙江教育出版社，2008.
　　［4］张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第四版)［M］.北京：高等教育出版社，1999.
　　［5］波利亚.怎样解题［M］.上海科技教育出版社，2007.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文