新计算技术条件下的高等数学竞赛

　　摘 要： 本文作者分析了2011年浙江省高等数学竞赛的试题，结合Maple给出解答过程，从新计算技术条件下分析了高等数学竞赛中运用数学软件的深度和广度。
　　关键词： 高等数学竞赛 数学软件 Maple 图形计算器
　　
　　由浙江省高等数学教育研究会组织的高等数学竞赛于2011年5月28日在全省举行.竞赛分学科进行，共分成四个专业，即数学类、经管类、工科类和文专类.时代的发展伴随着计算技术的飞速进步，现代的各种计算工具早已经进入学校教学环节.本文使用计算机代数系统Maple辅助求解2011年浙江省高等数学竞赛（文专类）试题，通过对这些试题的求解给高等数学竞赛一些建议，希望能对高等数学竞赛有所帮助.
　　一、数学软件，以及计算硬件教学
　　随着计算数学的发展，各种数学软件和计算硬件应运而生，其中软件以Mathematica［１］、Maple、Matlab为代表，而计算硬件则以TI-92Plus和HP图形计算器为代表［２］.这些数学软件和计算硬件将现代的各种计算技术封装在内部，只要掌握了它们提供的语句命令，就可以快速准确地解决数学问题，可以说这些计算软件和硬件是面向任务的计算机语言.当然，计算软件不是万能的，有很多数学问题它们也无能为力.然而，这些计算语言的运用将我们从例行性的繁琐计算中解脱出来，能有更多的时间和精力从事创造性的工作和学习.正是由于这样的优势，在各个高校已经普遍开设高等数学实验，也就是在新的技术条件下开展高等数学的教学改革.
　　在北京、上海和广州这样的大城市已经开始在中学使用图形计算器进行数学教学改革试点，以上海交通大学为代表的高等院校也开始了相关的研究［３］，这种图形计算器是一种固化的数学软件.清华大学在2000年起允许图形计算器进入考场［３］.可以说现代计算手段已经慢慢成为学习数学的基本工具，而且是大势所趋，在美国和澳大利亚的数学教师联合会推荐每个数学教师使用图形计算器进行教学设计［２］.
　　二、使用Mathematica辅助求解2011年高等数学竞赛（文专类）试题
　　（一）计算题.
　　1.求ln1-
　　运用求极限命令
　　limit（sum（ln（k-1）-ln（k）+ln（k+1）-ln（k），k=2..n），n=infinity）;
　　可以直接得到结果-ln（2）.
　　2.计算?蘩|x-t|dx
　　用解不等式命令solve将积分区间分割solve（x^2＞t，{x}）;
　　得到结果x＞，即当x＞时x＞t，因此分别计算两段积分
　　int（t-x^2，x=0..sqrt（t））+int（x^2-t，x=sqrt（t）..1）;
　　结果t+-t（1-），接着计算导数diff（%，t）;
　　得到2-1，再求驻点
　　solve（%=0，t）;
　　唯一的驻点是x=1/4，继续计算二阶导数diff（%%，t）;
　　二阶导数是1/，由于1/＞0，t∈（0，1），因此函数在驻点处取极小值，最大值在区间端点处取到，比较端点处函数值的大小max（int（x^2，x=0..1），int（1-x^2，x=0..1））;
　　最后结果是2/3.
　　3.设狄利克雷函数D（x）=1，x为有理数0，x为无理数，f（x）=xD（x），问f′（0）是否存在?若存在，请求其值.
　　根据导数的定义把问题化成极限问题xD（x）.因为0≤D（x）≤1，因此先规定变量Dx的范围，再求极限assume（Dx＜=1，Dx＞=0）;
　　limit（x*Dx，x=0）;
　　结果是0.
　　4.求?蘩max（1，x）dx
　　用分段函数定义被积函数
　　f:=x-＞piecewise（x＜1，1，x）;
　　计算不定积分
　　int（f（x），x）;
　　得到结果x，x＜1+，x≥1，补充上积分常数即可.
　　5.已知f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值为2，求a的值.
　　通过解方程求驻点
　　solve（diff（x^4-4*x^2-a，x）=0，x）;
　　得到驻点x=0，，-，最值只可能在驻点和端点处取到，因此2=max{|a|，|4+a|}，求解这个方程
　　solve（max（abs（a），abs（a+4））=2，a）;
　　得到结果-2.
　　（二）设f可导，且x≤f（x）≤（x），求f′（x）.
　　由于没有给出f的解析式，无法直接计算导数，先做出y=x，y=（x+1）的图形
　　plot（［x，（x^2+1）/2］，x=0.8..1.2）;
　　因此y=（x+1）在x=1处的切线就是y=x，而y=f（x）介于两者之间，因此y=f（x）的切线也是y=x，于是f′（x）=1.用夹逼定理的方法见文献［４］.
　　（三）［x］表示不大于x的最大整数，求?蘩［x-x+1］cosxdx.
　　先做出［x-x+1］的图形
　　plot（floor（x^2-x+1），x=0..Pi/2）;
　　因此［x-x+1］在（0，1）之间是0，在［1，π/2］之间取值1，将积分分段后积分求和int（0*cos（x），x=0..1）+int（1*cos（x），x=1..Pi/2）;
　　得到结果是1-sin（1）.
　　（四）设y＞0，求g（y）={ln（x+2）-xy}的解析式.
　　先计算导数
　　diff（ln（x+2）-x*y，x）;
　　得到结果-y，接着计算驻点solve（%=0，x）;
　　得到唯一驻点-2，继续计算二阶导数solve（%%，x）;
　　结果是-，由于二阶导数小于零，因此在唯一驻点处取到最大值，将x=-2代入ln（x+2）-xy即可得到所求解析式.
　　（五）设f（x）≠常数，若存在常数a∈（0，1），对x，y∈R有f（）=af（x）+（1-a）f（y），求a的值.
　　因为x与y地位对称，所以
　　f（）=（1-a）f（x）+af（y）
　　两式相减得到0=（1-2a）f（x）+（2a-1）f（y），如果a≠，则f（x）=f（y），这与f（x）≠常数矛盾，因此a=.
　　三、高等数学竞赛（文专类）试题的分类
　　通过使用Maple辅助求解2011年浙江省高等数学竞赛（文专类）试题的深度，以及广度可以对试题进行如下分类.
　　（一）用软件直接求解的试题.
　　这是一种纯粹考察计算技巧性的试题，由于现在的计算机软件几乎把手工掌握的这些计算技巧都固化在了软件内部，所以一般的直接计算题能够用一个命令就得到结果.这种试题有:第一题（1，4）.
　　（二）能用数学软件解决大部分问题的试题.
　　这类问题需要借助数学知识，辅助以数学软件才能方便地求解出问题，单纯依靠数学软件不能得到解.例如第一题（2，3，5），第3题和第4题.
　　（三）很少或者几乎不能用数学软件的试题.
　　这类试题由于抽象性或者计算的复杂性不能使用数学软件得到解，必须依赖于数学知识才能正确求解.比如第2题和第5题.
　　四、给高等数学竞赛试题的建议
　　根据《浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛章程》，“竞赛旨在激发我省大学生学习数学的积极性，提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革”.考查繁琐的计算技巧性的题目与竞赛的宗旨不符，学生在复习知识的时候也没有热情和动力，应尽可能避免这样的试题.
　　既然竞赛宗旨是要提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，那么竞赛的试题应该是考查学生综合运用数学知识解决数学中比较困难问题的能力，同时更要体现一种创新思维的过程，出一些需要把现有知识进行类比，推广等得到新结论的试题，这样才能真正起到一种竞赛的作用.
　　这里产生了一个问题，就是将来的数学竞赛能否使用计算机软件或者图形计算器的问题.我的观点是赞成使用.竞赛的宗旨是要看学生的创新能力，那在竞赛过程中就不能把宝贵的时间花费在繁琐的计算过程中，有了数学软件或者图形计算器可以给学生预留出更多的时间和精力完成需要创新思维的活动中，竞赛的作用才能彰显.
　　
　　参考文献：
　　［1］Stephen Wolfram.The Mathematica Book（Fourth Edition）［M］.Cambridge University Press，March 15，1999.
　　［2］史炳星.谈谈图形计算器对我国数学教育的影响［J］.数学教育学报，2001，（1）：39-42.
　　［3］汪静.用图形计算器在高等数学教学中运用的探讨［J］.高等数学研究，2002，（5）：40-41.
　　［4］田增锋.浙江省高等数学竞赛题的几何思考［J］.考试周刊，2011，（40）：13-14.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文