在中学数学教学中领悟数学之“美”

　　摘 要： 如何在中学数学教学中展现数学美，以及挖掘数学美，对于提高学生的数学学习能力具有重要作用。本文举例介绍了数学的“对称之美”、“简洁之美”、“统一之美”和“奇异之美”，目的在于落实中学数学教学的数学美育教学功能，培养学生的数学审美意识，进一步提升学生的数学学习兴趣。
　　关键词： 中学数学教学 数学之美 数学美育
　　
　　数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，它似乎给人以高度抽象、枯燥单调之感。其实不然，“数学家在创造活动中总有情感、意志、信念、希冀等审美因素，因此在数学的数字和公式中都蕴含丰富的审美内容。”古代的哲学家、数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数，哪里就有美。”英国哲学家罗素也指出：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且拥有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷面严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱方面，这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的具有最大的艺术才能现实的完美的境界。”数学美是数学科学的本质力量的体现，是一种真实的美，它不仅有表现的形式美，而且有内容美与严谨美；不仅有具体的公式、定理美，而且有结构美和整体美；不仅有语言精巧美，而且有方法美与思路美；不仅有逻辑抽象美，而且有创造美与应用美。
　　在中学数学课堂中如何展现数学美，以及开掘数学美？如何培养学生对数学美的审美意识，提高学生鉴赏数学美、追求数学美的能力？探讨以上问题，有利于在数学教学中真正把数学美育的功能切切实实地落实在中学数学的课堂上。
　　一、对称之美
　　具有对称性的东西，给人以圆满的匀称美感和精神享受。例如，人体、树叶、房屋等很多物体都是对称的。人们欣赏对称的美，对称也给人类生活带来方便。对称美在数学中随处可见。例如：
　　（1）立体几何中的正方体、长方体、正四面体、圆锥、圆台、棱台等都是对称的几何体。
　　（2）在解析几何中，抛物线、双曲线、圆、椭圆都是对称的。还有，方程及ρ=asin3θ及ρ=acos3θ，ρ=asin2θ及ρ=acos2θ所表示的三叶玫瑰线、四叶玫瑰线也是对称的。
　　（3）在代数中的互为反函数的图像关于直线y=x对称；奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称，等等。
　　数学中的对称不仅表现在几何图形上，在数学表达式中也大量存在。如二项式展开系数，即著名的杨辉三角就具有对称性，三角形中恒等式、不等式也具有对称性。
　　其实，数学中的对称美不仅给我们带来直观上美的享受，而且把对称美应用到解题中，有时候会大大地降低解题的难度。如，在等差数列的习题中有这样一个题目：在等差数列{a}中，若a+a+a+a，则S=?摇?摇?摇。
　　分析：等差数列中存在对称美：当i+j=m+n时，有a+a=a+a，由对称性知：a+a=a+a=10，S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a）=10×10=100。通过对称美的挖掘引导学生应用数学美，使学生从行之有效的数学方法和灵活巧妙的解题技巧中感受和发现数学美，并通过优化自己的解题方法和解题技巧来创造数学美。
　　二、简洁之美
　　简洁性是数学的特点，也是数学美的特征。在数学教学中，应该追求简单美，显现数学本质。数学的简单之美表现在以下几个方面。
　　1.数学语言是简洁、精炼、准确的。
　　数学中的一个概念、一个定理、一个方程式和一个函数关系式，往往在形式上表现得极为简洁，高度体现出数学的概括性，但是它们反过来可以解释更多的现象，这正是我们数学的威力、美的体现。
　　如开普勒花勒十几年的实践获得的行星运动第三定律：T=R（T是公转周期，R是椭圆轨道长半轴）。
　　牛顿第二运动定律：F=ma
　　爱因斯坦的质能方程：E=mc
　　它们都简明、精确、千锤百炼。
　　2.数学问题解决的简洁性。
　　对于数学问题的解决，把复杂的形式转化为最简单的形式，使问题得以简化，进而能够利用简单的方法达到解决问题的目的。这种以数学美的简洁性为出发点，体现了思维的经济化。如勾股定理的证明，从古到今，有370多种各具巧思的证明，这些证明都是以最短的途径、最好的方式架设起通往人类心灵的智慧之桥。
　　三、统一之美
　　在数学中，表面上看来不相同的概念、定理、法则，在一定条件下，可以处在一个统一体中。平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，都可以统一于圆幂定理中。
　　解析几何中的圆、椭圆、双曲线、抛物线都可以统一于圆锥曲线之中。
　　在三角函数的恒等变换中有“万能置换公式”：
　　sinx=，cosx=，tanx=其中t=tan，利用这一公式可以将各种三角函数的有理式统一化为tan的代数式。
　　在集合论建立以后，代数中的“运算”，几何中的“变换”，分析中的“函数”这三个不同领域的概念可以统一于“映射”概念之中。
　　数与形本是数学研究中的两个独立的对象，对它们的研究，分别构成了代数与几何，然后通过坐标系的建立，使点与数建立了对应，从而把代数研究的对象与几何研究的对象——方程与曲线联系了起来，实现了统一。
　　再如欧氏几何内容繁多，错综复杂，变化无穷，然而可以统一在五组公理之下。
　　另外，数学美的统一性还表现为数学方法的统一。
　　从数学发展的规律来看，数学的发展将日益证明数学的统一性。为了使庞大的数学体系变得简单而精确，人们经常依据数学各领域的共性，提出统一数学各部分的新观点、新理论和新方法。
　　四、奇异之美
　　奇异是数学美的重要体现。奇异性是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、理论、方法）所突破，或出乎意料、超乎想象的结果所带来的新颖和奇特，往往会引起人们思想上的震动。奇异美和统一美之间是一种对应统一的关系，必须把这两个相互对应的方面结合起来，以便在新的层次上达到更高的统一。
　　一个十分有趣的例子，蒲丰用投针求解圆周率π的近似值。1777年的一天，蒲丰突发奇想，把许多朋友都请到家中，做了一个令人感到奇怪的试验。他把事先画好的一条条具有等距离的平行线的白纸，铺在桌子上，然后又拿出一大把质量均匀的、长度都是平行线的间距一半的小针，请客人们把这些小针一根一根地随便放到纸上。而蒲丰则在一旁专注观察并计数，共投2212次，其中与任一平行线相交的有704次，蒲丰又做了简单除法：2212/704=3.142，然后宣布：“这就是圆周率π的近似值。”在当时，计算圆周率π是非常困难的，一般都是利用计算圆内切或外切正多边形的边长去逼近，而它竟然和一个表面看来风马牛不相及的投针试验结合在一起，岂不令人惊奇。这样用偶然方法去做确定性计算，充分显示了数学方法的奇异美。
　　数学的奇异美在数学的发展过程中体现得淋漓尽致。例如，在欧氏几何占据统治的年代，非欧几何的思想是“奇异”而“荒诞”得思想。虽说高斯在1816年左右就具有了非欧氏几何得思想，但当时他也不敢公开这种奇异的想法。直到1826年俄国数学家罗巴切夫斯基才第一个公开地提出了非欧氏几何理论——罗氏几何。所以，奇异所造成得并不总是消极的影响，恰好相反，在它们中间常常孕育着新的巨大发展的可能性，体现了理论与思想的巨大创新与变革。
　　再比如说，再课本中有这样的典型题：已知a、b、m∈R且a＜b，求证：＜。这个问题就是一个内涵非常丰富的问题。可从以下几个问题进行延伸：
　　（1）在化学上，这个表示：在浓度的溶液中加入溶质m时，溶液的浓度会变大（所述的不等式“不论自明”）。
　　（2）在平面几何中，与分别表示直线om与直线on的斜率，利用结论可以解决相应的问题。
　　（3）比较与的大小。
　　通过以上问题的深刻挖掘，让学生逐步理解到数学的奇异美来源于现实世界，又将现实世界的数量关系进行“高度的抽象化”，从而具有广泛的应用性。
　　数学是一个充满着生气的瑰丽多姿的世界，让人类思维开出灿烂的花朵，是思维高原上的一座宏伟的殿堂。数学中的美的因素是多种多样的，就像绿叶丛中的鲜花一样，时时发出夺目的光彩。数学美隐藏在数学教材之中，所以要想在教学中体现出它的思想价值，需要教师有意识、有目的地挖掘、整理蕴涵于其中的数学美知识，师生一起作为审美主体对各种形式的数学美进行赏析并做出恰当的审美评价，引导学生学会鉴赏数学美、创造数学美，这是现代教育对数学教育提出的新课题。中学数学教师完全有能力充分利用现有条件，加强学习，积极利用数学美进行教学改革实验，培养数学美对学生的审美意识，努力提高学生的综合素质。
　　
　　参考文献：
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　　［5］张艺.数学中美的探析［J］.安徽水利水电职业技术学院学报，2006，（6）.