机械能守恒定律的几个表达式及应用

　　在物体系内，只有重力和弹簧弹力做功的情形下，动能和势能可以相互转化，总的机械能保持不变，这就是我们熟悉的机械能守恒定律。
　　一、机械能守恒定律的表达式
　　（1）E+E=E+E（或E=E）
　　该式表示所研究的物理过程中，任意两个状态的机械能总量相等。
　　（2） △E=△E
　　该式表示系统动能的增加量等于系统势能的减少量。
　　（3） △E=△E
　　该式表示将系统分为a、b两部分，a部分机械能的增加量等于b部分的减少量。
　　在应用上面的表达式解题时，第一个表达式中的E是相对的，建立方程时必须选择合适的零势能参考面，且每一个状态的E都应是相对同一个参考平面而言，平时练习中大多数的题目都可用它来解决；后两种表达式由于研究的是变化量，无需选择零势能面，有些问题利用它们解题显得非常方便，特别是在选择零势能面时会出现未知的高度时，用这种表达式来解决更为方便，但是问题中一定要搞清楚增加量和减少量。
　　应用机械能守恒定律解题的基本步骤包含：（1）确定研究对象和研究过程；（2）判断机械能是否守恒；（3）选定一种表达式，列式求解。
　　二、机械能守恒定律表达式的应用
　　例1.如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？
　　解：铁链在运动中机械能守恒，选取地面为零势能面：
　　mg2L+mg(2L-)=mg+mv 得：
　　v=。
　　本题所涉及的属于单个物体，切所给高度已知，所以用表达式（1）较简便。
　　例2.如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球A、B，质量分别为m和M，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高C点时A、B两球的速度？
　　解析：A球沿半圆弧运动，绳长不变，A、B两球通过的路程相等，A上升的高度为h=R；B球下降的高度为H==；对于系统，由机械能守恒定律得： -ΔE=ΔE；
　　∴ΔE=-Mg+mgR=(M+m)v
　　∴v=。
　　本题也可用表达式（1）来解。
　　例3.如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：
　　（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v；
　　（2）B球能上升的最大高度h；
　　（3）开始转动后B球可能达到的最大速度v。
　　解：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。
　　（1）过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。
　　2mg•2L=3mg•L+•2m•v+•3m（），解得v=。
　　（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。
　　2mg•2Lcosα=3mg•L(1+sinα)，此式可化简为4cosα-3sinα=3。
　　利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°。
　　（3）B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，
　　•2m•（2v）+•3m•v=2mg•2Lsinθ-3mg•L（1-cosθ）=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mg•L，
　　解得v=。
　　本题如果用E+E= E′+E′这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。用ΔE=ΔE就要简洁得多。