可压缩层合橡胶材料构成的柱壳的有限变形问题

牛大田，高 洋，杨文美

(大连民族学院理学院，辽宁大连 116605)

可压缩层合橡胶材料构成的柱壳的有限变形问题

牛大田，高 洋，杨文美

(大连民族学院理学院，辽宁大连 116605)

以非线性弹性力学的有限变形理论为基础，建立了一类可压缩橡胶材料组成的层合柱壳受内外径向压力时的对称径向有限变形问题数学模型，得到了柱壳的径向变形方程组，并由此得到了模型的参数型解析解，最后给出了确定参数的有效途径。

可压缩超弹性材料;应变能函数;平衡微分方程;非线性微分方程组;边界条件;参数型解析解

橡胶材料如胶管、胶带、橡胶密封圈等广泛地应用于航空航天、精密仪器、机械制造、医疗卫生等诸多领域［1］，因此，对橡胶材料的研究属于材料科学的研究热点之一。橡胶材料属于超弹性材料，其本构关系完全由它们的应变能函数给出，其材料特性及由变形引起的几何特性都是非线性的。关于单一橡胶材料已经取得了非常丰富的研究成果，如柱体的扭转与弯曲、球壳及柱壳的膨胀与收缩、材料中的空穴现象等等［2－4］。目前，国内外学者开始将研究目标转移到复合橡胶材料上来。文献［5］研究了由可压缩超弹性材料组成的组合球体的空穴生成现象。文献［6］从理论和实验上研究了一类橡胶复合材料受单向及双向拉伸的力学行为。文献［7］对一类不可压缩层合橡胶圆管径向膨胀进行了稳定性分析。

本文基于非线性弹性力学的有限变形理论，建立了用于描述一类可压缩橡胶材料组成的层合柱壳受内外径向压力时的对称径向有限变形问题的非线性微分方程组，求得了该方程组的参数型解析解，并给出了确定参数的途径。

1 方程组及其边界条件的建立

本文研究由双层材料粘合成的各向同性的可压缩超弹性柱壳受内径向压力p1和外径向压力p2时所表现的有限变形问题。因为柱壳的两层材料的接触部分是粘合的，因此假设粘合部分满足关于径向位移和径向应力的连续性条件。在柱坐标系下，变形前后的柱壳中的点分别标识为(R，Θ，Z)和(r，θ，z)。在径向对称变形的假设下，柱壳变形后的构型由

给出，式中，R1，R2，R3分别为变形前柱壳的内半径、粘合部分半径(或称中半径)及外半径，r［1］，r［2］分别为待求的两层材料的径向变形函数。

忽略体积力的影响，径向变形函数 r［j］，(j=1，2)应满足下面的平衡微分方程:

分别为材料的变形梯度张量的主伸长且满足λ［j］i＞0，(i=1，2，3;j=1，2)，W［j］，(j=1，2)分别为两层材料的应变能函数。

由柱壳内外表面的受力情况及中间粘合部分的连续性条件，可以得到下面的边界条件:

因此，非线性微分方程组(2)以及边界条件(7)～(10)就描述了由两层材料粘合成的柱壳受径向内外压力时的形变问题。

2 求解

因此，式(15)和式(20)就是满足边界条件(7)～(10)的非线性微分方程组(2)的参数型解析解。只要确定了4个积分常数就可以根据式(15)和式(20)来研究由双层材料粘合成的可压缩超弹性柱壳受径向内、外压力时的变形问题了。

3 结语

本文根据非线性弹性力学的有限变形理论，建立了用于描述由双层可压缩橡胶材料粘合成的柱壳的变形问题的非线性微分方程组，并根据柱壳所受内、外径向压力的大小及粘合部分的连续性条件，建立了微分方程组所满足的边界条件。通过分别求解两个微分方程，得到了内、外层材料的径向变形函数的参数型解析解，其中参数可以根据边界条件确定。

［1］刘登祥.橡胶及橡胶制品［M］.北京:化学工业出版社，2005.

［2］BEATTY M F.Topics in finite elasticity:hyperelasticity of rubber，elastomers，and biological tissues with examples［J］.Applies Mechanics Review，1987，40(12):1699－1733.

［3］HORGAN C O，POLIGNONE D A.Cavitation in nonlinearly elastic solids:A review ［J］.Applies Mechanics Review，1995，48(8):471－485.

［4］FU Yibin，OGDEN R W.Nonlinear elasticity:theory and applications［M］.London:Mathematical Society Lecture Note Series，2001.

［5］任九生，程昌钧，朱正佑.可压超弹性材料组合球体中心的空穴生成［J］.应用数学与力学，2003，24(9):892－898.

［6］任九生，黄兴，周琎闻.纤维增强橡胶复合材料拉伸与破坏的实验分析［J］.力学季刊，2009，30(2):237－242.

［7］袁学刚，张文正，张洪武，等.不可压缩层合橡胶圆管径向膨胀的稳定性分析［J］.应用数学与力学，2011，32(3):286－292.

Finite Deformation Problem of a Cylindrical Shell Composed of Composite Rubber Materials

NIU Da－tian，GAO Yang，YANG Wen－mei
(College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China)

Based on the finite deformation theory of elasticity mechanics，the mathematical model that describes the deformation problem of a cylindrical shell composed of two classes of compressible rubber materials subjected to inner and outer radial pressure has been established，and the equations of the radial deformation has been developed.Then，the analytic solution of parametric type of the model has been in hand，and the approach to determine the parameters has been provided.

compressible hyperelastic material;strain energy function;equilibrium differential equation;system of nonlinear differential equations;boundary condition;analytic solution of parametric type

O241

A

1009－315X(2011)05－0469－03

2011－05－25;最后

2011－06－24

国家自然科学基金资助项目(11001039，10872045)。

牛大田(1975－)，男，山东新泰人，副教授，博士，主要从事非线性弹性力学的解析解法及数值解法研究。

(责任编辑 邹永红)