考虑地球重力场模型的移动曲面法*

赵 煜，贺学文，司向阳

(1.河南省地质测绘总院，河南郑州 450006;2.夏邑县国土资源局，河南夏邑 476400)

考虑地球重力场模型的移动曲面法*

赵 煜1，贺学文1，司向阳2

(1.河南省地质测绘总院，河南郑州 450006;2.夏邑县国土资源局，河南夏邑 476400)

利用GPS水准法求解GPS点位正常高的方法有很多，但这些方法各有利弊，其精度与地形起伏大小、重合点数量、点位分布等有关。为此，提出利用地球重力场模型改进GPS水准中移动曲面法的方法。实践证明，利用该方法在一定程度上可以提高GPS定位的精度。

GPS水准;正常高;高程异常;地球重力场模型;改进移动曲面法

0 引言

近年来，GPS定位技术以其精度高、速度快和经济方便等优点，在布设各种形式的控制网、变形观测及精密工程测量等方面都得到了广泛的应用。根据GPS相对定位的基线向量，可以得到高精度的大地高，但是在将大地高转换为正常高时，由于受某些因素的影响，所得的正常高精度不高。由于受大地水准面起伏变化的影响，不同点位上的高程异常值并不相同，因此很难让两者在保证精度不过分降低的条件下，直接实现转换。目前将高精度的GPS大地高转换为正常高最常用的方法就是在局部区域利用不同数学曲面拟合该区域似大地水准面，从而获得该区域内各GPS点的正常高，该方法称为GPS水准法，也称GPS高程拟合法。另外，也可利用重力和天文资料联合重力场模型的方法计算正常高。

1 GPS水准

大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统[1]。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离，大地高也称为椭球高，一般用H表示。大地高是一个纯几何量，不具有物理意义，同一点在不同的基准下具有不同的大地高。正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离，用Hg表示。正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，用Hr表示。可以得到大地高H、正常高Hr、高程异常ζ三者之间的关系为:

GPS采用的是WGS－84椭球，而中国采用的正常高是相对于似大地水准面的，它与大地水准面之间同样存在系统偏差，即:Δζ=ζ－N。高程异常ζ受地形起伏、地球内部物质密度变化的影响，变化不规则，目前可以通过天文大地测量、重力测量、卫星大地测量以及卫星测高等手段测定，但其精度不高，从而给计算正常高带来了不便。

GPS水准采用在水准点上布设GPS点或对GPS点进行水准联测得到的点作为已知点，求出这些已知点的高程异常值:ζ=H－Hr。利用一定的数学方法进行求解，可以求出未知点的高程异常值，从而确定未知点的正常高Hr。目前常用的数学方法有:平面拟合法、多项式曲线拟合法、多项式曲面拟合法、加权平均法、样条函数插值法、多面函数法、神经网络法等。

进行拟合时，常用到整体法。所谓整体法，就是拟合时采用拟合区域的所有已知点数据参与拟合。如用多项式拟合法进行整个区域的拟合即为其中的一种，由于该方法所测精度与已知点分布的状况有关，因此会造成局部区域拟合效果好而另一些区域拟合效果不佳的情况，且该方法还受地形起伏大小以及数据点图形结构强弱的影响。鉴于上述原因，本文考虑采用移动曲面法进行拟合。

2 移动曲面法

移动曲面法指的是用户所规定的一个有限区域，该区域的位置将随未知点的位置变化而变化，所选择的参与拟合的已知点即为该区域内的已知点[2]。选择这种模式的目的是可以更好的模拟似大地水准面，而不会由于远距离控制点的不良效应而损害精度。该方法需要注意以下问题:

1)所选区域的形状。考虑到选点的方便性和合理性，所选区域的形状一般为矩形或圆形，且未知点在该区域的中心。

2)所选区域的大小。所选区域过小，某个未知点周围参与计算的已知点数可能过少，无法求解出该未知点，这样整个区域可以参与计算的点数就很少，这时应扩大区域。所选区域过大时，精度会有所降低，这时应缩小区域来保证必要的精度。

3)未知点高程异常值直接用已知点高程异常值代替的情况。当未知点与已知点的距离小于d(视为已知点的距离)时，可直接用已知点高程异常值代替未知点的高程异常值，不必再进行运算。

3 改进移动曲面法

3.1 大地水准面高

已知地面上任一点的WGS－84大地坐标为(B，L，H)，根据地球重力场知识可以得出该点的大地水准面高的长波分量NGM为:式中:GM为地球引力常数;a为参考椭球的长半径;φ、λ和r分别为计算点地心纬度、经度和向径nm和nm为完全规格化位系数nm(sinφ)为完全规格化的的缔合Legendre函数;Nmax为所采用模型的最大阶数;γ为计算点的正常重力，其值是根据近代人造地球卫星测定的地球形状和重力数据，1971年第15届国际大地测量和地球物理协会确定的正常重力公式来计算的:地球重力场模型通常是指地球扰动位的球协函数级数展开的系数(简称位系数)[3]，它是利用卫星跟踪数据、地面指数据、卫星测高数据等重力场信息计算的。

由于客观存在大地水准面高和水准测量的正常高的基准面不同，重力大地水准面长波分量NGM和重力异常中波分量NΔg的误差以及计算上述各分量的误差，会造成重力场模型大地水准面高N与高程异常值ζ存在不可忽视的系统偏差。由于这些系统偏差具有不规则性，因此几乎不能用模型来描述它们，当然也不能用简单的拟合或检验方法来补偿所有的系统误差。

3.2 实现步骤

现采用考虑地球重力场模型的GPS移动曲面法，又称改进移动曲面法[4]。该方法是在传统GPS移动曲面法上改进而来的，主要是通过引入地球重力场模型来减小长波分量NGM的影响，提高拟合精度。具体实现步骤如下:

第一，在测区的已知点上，利用式(2)计算出地球重力场模型的大地水准面高NGM;

第二，将已知点和未知点的GPS观测值进行基线解算、GPS网平差、坐标转换等，得到高斯坐标(x，y)和大地高H;

第三，将测区的已知点的大地高H和正常高Hr代入式(1)求出各已知点的高程异常值ζ;

第四，将各个已知点的高程异常值ζ和大地水准面高N求差，得出地球重力场模型大地水准面高N与似大地水准面的高程异常值ζ的差值Δζ:

第五，对求得的差值Δζ用数学方法进行拟合，主要是采用移动曲面法中的平面法、二次曲面法和加权平均法。

3.3 算法

3.3.1 改进平面法

改进平面法的模型为:

该法要求参与拟合的已知点个数大于3个，求解未知参数a0、a1、a2时利用最小二乘法中的参数平差原理进行求解，式(5)写成距阵为:

其中:

根据VTPV最小原理可得:

设ATPA=N，ATPL=U，则式(7)变为:

其中，式(7)、式(8)为法方程，式中N为法方程的系数阵，U为法方程的自由项向量。

当N为非奇异阵时，其逆矩阵存在，可求出未知参数:

将已知数据代入，可以解出未知系数a0、a1、a2，这样就拟合出一个平面，将未知点的高斯坐标代入平面方程，就可拟合未知点的Δζi。将求得的Δζi代入式(4)，再代入式(1)，即可求出未知点的正常高Hr。

3.3.2 改进二次曲面法

改进二次曲面法的模型为:

同样，用类似于改进平面法的求解方法，可以求出上述参数。该法要求参与拟合的已知点数大于6个。这样就可拟合出一个二次曲面函数，将未知点的高斯坐标代入二次曲面方程，就可以拟合出未知点的Δζ。同理，可以求出未知点的正常高Hr。

3.3.3 改进加权平均法

该方法也是一种常用方法。在该方法中，未知点的Δζ可由周围已知点计算，公式为:

式中:n为区域内的已知点个数;Δζ为各未知点大地水准面高N与似大地水准面的高程异常值ζ差值;Pi为各未知点的权。Δζ求出后，即可求出未知点正常高。

以上公式中，权P是和未知点、已知点的距离有关的量，其计算公式为:式中:D为未知点和已知点之间的水平距离;e为任意常数，其目的是为了防止当D太小时造成P值无限增大，由于用移动曲面法已经考虑到了这个问题(当未知点与已知点的距离小于d，可直接用已知点高程异常值代替未知点的高程异常值)，故取e=0.01;n为定权次方，一般取大于零的数。

3.4 精度分析

进行精度分析时，常使用最小二乘法[5]中的单位权中误差作为精度分析的标准，公式为:式中:V为根据已知点计算得到的观测值改正数(移动曲面法中为高程异常ζ的改正数，改进移动曲面法中为大地水准面高N与似大地水准面的高程异常ζ的差值Δζ的改正数);P为权阵;n为已知点的个数;t为模型未知参数的个数。利用该方法得到的中误差属于内符合精度，表明在模型内部的精度状况。为了更好地反映各种方法的真实精度，计算时采用的是外符合精度，这种精度主要是把测区内所有的已知点依次看作未知点，采用前文介绍的方法求出各已知点的ζ(或Δζ)，将它们与该已知点的真实ζ0(或Δζ0)求差，得到Δ，然后代入中误差公式:

求得的中误差属于外符合精度，该精度由于考虑了已知数据，具有真误差的性质，能反映各种方法的真实精度，可信度高。

4 应用实例

以某测区为例，其点位分布图如图1所示。对该测区内60个点进行了移动曲面法中的平面法、二次曲面法和加权平均法以及改进移动曲面法中的改进平面法、改进二次曲面法和改进加权平均法共6种方法的外符合精度检验。检验时取d(视为已知点的距离)为100 m，采用圆区域进行移动曲面选点，取移动曲面半径分别为30 km、35 km、40 km，取定权常数e为0.01，定权次方n分别为1、2、3进行检验，得到的外符合精度如表1－3所示。

图1 测区点位分布图Fig.1 Point location distribution diagram of the survey area

表1 移动曲面半径为30 km时的外符合精度Tab.1 The outside accorded with accuracy of mobile surface's radius being 30 km

表2 移动曲面半径为35 km时的外符合精度Tab.2 The outside accorded with precision of mobile surface's radius being 35 km

表3 移动曲面半径为40 km时的外符合精度Tab.3 The outside accorded with precision of mobile surface's radius being 40 km

将表1－3中的数据依次以图形表示，如图2－4所示。其中，纵坐标为外符合精度值，单位为m;横坐标为定权次方。

图2 移动曲面半径为30 km时的精度比较Fig.2 Precision comparison when mobile surface's radius being 30 km

图3 移动曲面半径为35 km时的精度比较Fig.3 Precision comparison when mobile surface's radius being 35 km

图4 移动曲面半径为40 km时的精度比较Fig.4 Precision comparison when mobile surface's radius being 40 km

5 结论

通过对文中实例的分析，笔者得出如下结论:

1)经过以上3组数据图表对比可以看出，加入地球重力场模型改正后的精度总体要优于加入改正前的精度，说明通过引入地球重力场模型减小了长波分量NGM影响，考虑地球重力场模型的GPS水准法对传统GPS水准法有一定的精化作用。由于该地区的地形相对平坦，考虑地球重力场模型的GPS水准法的优势没有完全被发挥出来，在地形起伏较大的地区，该法的精度有望提高。

2)文中考虑地球重力场模型的移动曲面法采用的是EGM96模型，该模型虽应用了中国地域早期的1°×1°地面重力观测数据，但采用数量有限，故运算精度很难有较大改善。如果采用中国有关部门自行研制出的全球重力场模型(如国内的DQM系列和WDM系列模型)，由于在求定这些模型时详尽采用了中国的卫星测高、重力、地形等资料，本文所提出方法的精度将还可以进一步提高。

3)在实际运用时建议采用上述方法。常数如何选择，值得考虑。如:文中实例若采用25 km的移动曲面半径，二次曲面法外符合精度检验时参与检验的已知点数将不足所有已知点数的2/3，得出的外符合精度可靠性值得怀疑。所以，在选定常数时，应在考虑这方面因素的前提下，尽可能选择外符合精度高的一组常数。

[1]江志恒.GPS水准[J].测绘科技动态，1991(Z1):5－6.

[2]Shres.，R，李征航.把GPS大地高转换为正高时的曲面内插技术[J].武测译文，1994(2):1 －11.

[3]徐卫明，陆秀平，朱穆华，等.利用重力场模型精化GPS水准[J].海洋测绘，2003，23(2):5 －8.

[4]聂桂根，祝永刚，徐绍铨.改进的移动插值法及应用[J].测绘通报，1998(10):6－8.

[5]陈永奇，张正禄，吴子安，等.高等应用测量[M].武汉:武汉测绘科技大学出版社，1996:96－104.

Moving Surface Method Considered by Earth's Gravity Field Model

ZHAO Yu1，HE Xue-wen1，SI Xiang-yang2
(1.Henan General Institute of Surveying and Mapping of Geology，Zhengzhou Henan 450006，China;2.Xiayi County Land Resources Administration，Xiayi Henan 476400，China)

There are many kinds of methods to estimate normal height ofGPS points by usingGPS leveling，but there are advantages and disadvantages in these methods.Their precision are related to relief，the number of closely coincide and their distribution and so on.This paper is mainly about how to improve moving surface method ofGPS leveling by means of earth's gravity field model.The experiment certifies，the method could heighten，to a certain degree，GPS height precision.

GPS leveling;normal height;height anomaly;earth's gravity field model;improved moving surface method

P 228.4

B

1007－9394(2011)03－0025－04

2011－04－27

赵煜(1974～)，男，河南太康人，硕士，工程师，现主要从事大地控制测量、工程测量、航空摄影测量、数字矿山测量等方面的工作。