一阶时滞泛函微分方程的正周期解

金爱云，张国伟

(1.郑州航空工业管理学院 数理系， 河南 郑州 450015；2.东北大学 数学系，辽宁 沈阳 110004)

泛函微分方程周期正解这一课题引起了人们的广泛关注，有不少作者利用不同的周期模型讨论了该问题[1-2]，文献[3]中讨论了一般泛函微分方程u′(t)=-a(t)u(t)-g(t，u(t-τ(t)))周期解的存在性.

这里，我们考虑泛函微分方程

x′(t)=-a(t)f(x(t-τ(t)))x(t)+g(t，x(t-τ(t)))，

(1)

的周期正解存在性问题.其中，a(t)∈C(R，[0，∞))，f∈C([0，∞)，(0，∞))，g∈C(R×[0，∞)，[0，∞))，τ(t)∈C(R，R)，并且a(t)，τ(t)都是ω-周期泛函,g(t，x)关于t为ω-周期泛函，ω>0为一个常数,f(x)为有界泛函.

本文利用锥中的不动点定理来处理方程(1)的周期正解的存在性问题,即找到一个泛函及一个适当的算子满足, 推广了文献[3]中相应的结论.

1 准备工作

设X是实Banch空间，K是X的一个非空闭子集，K为一个锥.即

1)αu+βv∈K，∀u，v∈K且α，β≥0,

2)u，-u∈K，也即u=0.

假设(P)a(t)∈C(R(0，∞))，τ(t)∈C(R，R)，g∈C(R×[0，∞)，[0，∞))，f∈C([0，∞)，(0，∞)), 并且a(t)，τ(t)，g(t，x)都是ω-周期泛函,ω>0为一个常数,f(x)为有界泛函.

如果u(t)∈C([0，ω]，[0，+∞))， 并且u(t)满足方程(1), 则称u(t)为方程(1)的解.如果在(0，ω)上u(t)>0, 则称u(t)为方程(1)的正解.

1) ‖Φx‖≤‖x‖，x∈K∩∂Ω1，

定理1 假设(P)成立, 方程(1)若满足下列条件:

则至少有1个ω-周期正解.

首先，我们指出方程(1)的ω-周期解即为积分方程

(2)

的解. 其中

(3)

则X在范数‖C‖下是Banach空间. 定义X上的算子:

x=Φx.

(4)

其中

(5)

令K={x∈X：x(t)≥0，且x(t)≥σ‖x‖，t∈[0，ω]}，0<σ=A/B<1，且

易证K是X中的一个锥.

引理2 假设(P)成立, 则Φ(K)⊂K.

2 主要结论的证明

下面我们证明定理1在(1)或(2)成立下的结论.

g(t,u)≥f(u)a(t)u，0≤u≤r，

(6)

因此, 如果x∈K，且‖x‖=r，则x(t)≥σr.

令ψ≡1，t∈R，我们证明

x≠Φx+λψ，x∈K∩∂Ω1，λ>0，

(7)

其中，Ω1={u∈X：‖u‖

如若不然，存在x0∈K∩∂Ω1，λ0>0， 使得x0=Φx0+λ0ψ,

令R=r1/σ, 于是有

u(t)≥σ‖u‖=σR=r1,u∈K∩∂Ω2，

(8)

其中，Ω2={u∈X：‖u‖

g(t，u)≤f(u)a(t)u，0≤u≤r，

(9)

因此, 如果x∈K，且‖x‖=r，则x(t)≥σr.于是, 对,x∈K，‖x‖=r，有

也即‖Φx‖≤‖x‖,其中x∈K∩∂Ω1，Ω1={u∈X：‖u‖

u(t)≥σ‖u‖=σR=r1，u∈K∩∂Ω2，

(10)

其中，Ω2={u∈X：‖u‖

令ψ≡1，t∈R，证明

x≠Φx+λψ，x∈K∩∂Ω2，λ>0

(11)

如若不然，存在,x0∈K∩ ∂Ω2，λ0>0使得x0=Φx0+λ0ψ.

参考文献：

[1] 彭世国，朱思铭.无穷时滞泛函微分方程的正周期解[J].数学年刊，2004(3):285-292.

[2] Liu X，Li W.Existence and uniqueness of positive periodic solutions of functional differential equations[J].J Math Anal Appl， 2004(293):28-39.

[3] Wan A, Jiang D ，Xu X. A new existence theory for positive periodic to functional differential equations [J].Comput Math Appl，2004(47):1257-1262.

[4] K Deimling.Nonlinear Functional Analysis[M].New York：Springer-Verlag, 1985.

[5] K Lan, K Jeffry，J R L Webb.Positive solutions of semilinear differential equations with singularities[J].J Differential Equations，1998(148): 407-421.