一类带参数的四阶两点边值问题正解的存在性

黄永峰

(昌吉学院数学系，新疆 昌吉 831100)

一类带参数的四阶两点边值问题正解的存在性

黄永峰

(昌吉学院数学系，新疆 昌吉 831100)

通过应用锥上的不动点定理讨论了一类带2个参数的四阶两点边值问题正解的存在性,给出了正解存在的充分条件。

四阶边值问题；锥；正解；存在性

(1)

1 预备知识

设Gi(t,s)为线性边值问题：

-u″(t)+μiu(t)=0t∈[0,1]u′(0)=u′(1)=0i=1,2

由此可知，边值问题在C4[0,1]中的解等价于方程:

(2)

(i)Gi(t,s)>0,t,s∈(0,1);

(ii)Gi(t,s)≤CiGi(t,s),t,s∈(0,1);

(iii)Gi(t,s)≥δiGi(t,t)Gi(s,s),t,s∈(0,1)。

引理2当f∈C([0,1]×(0,∞),[0,∞))时,边值问题(1)的解满足：

证明由方程(2)及引理1中(ii)知：

(3)

再由引理1中(iii)，式(3)可得：

(i)‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω1;‖Ax‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω2;

(ii)‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω2;‖Ax‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω1，

2 主要结论

定理1如果f(t,u),ξ,η满足基本的假设条件,同时存在2个不同的正常数λ、η,使得:

f(t,u)≤λC(t,u)∈[0,1]×[0,λ]

(4)

(5)

同时成立,则边值问题(1)至少有一个解u,且‖u‖在λ，η之间。其中:

证明边值问题(1)等价于积分方程:

(6)

不失一般性，不妨设λ<η。取Ω1={u∈C[0,1]:‖u‖<λ}，则当u∈K∩∂Ω1时,由式(6)、引理1中(ii)及式(4)得：

故有‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1。

故有‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω2。

由上面定理很容易得到下面的一些结果，其证明只是简单地用到定理的结论。下面这些结果均设f(t,u),ξ,η满足基本假设条件，记：

推论1C,D同定理1，若以下条件之一满足:

则边值问题(1)至少有一个正解。

推论2C,D同定理,若以下条件同时满足:

(i)f0=L1∈[0,C)，f∞=L4∈[0,C)；

则边值问题(1)至少有两个正解u1和u2,且满足0<‖u1‖<η*<‖u2‖。

推论3C,D同定理,若以下条件同时满足:

(ii)存在λ*>0 使得f(t,u(t))≤λ*C,(t,u)∈[0,1]×[0,λ*]，

则边值问题(1)至少有2个正解u1和u2,且满足0<‖u1‖<λ*<‖u2‖。

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[6] 郭大钧.非线性泛函分析[M].第2版.济南:山东科学技术出版社,2001.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.09.001

O175.8

A

1673-1409(2011)09-0001-03