一类非齐次微分方程解的级与零点
2011-11-20蒋业阳陈宗煊
蒋业阳,陈宗煊
(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)
一类非齐次微分方程解的级与零点
蒋业阳,陈宗煊*
(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)
在方程系数A0的型起控制作用的条件下,研究了高阶非齐次线性微分方程f(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A0(z)f=F(z)解的增长性,得到了上述微分方程解的增长级和零点的一些精确估计.
微分方程; 型; 超级; 零点收敛指数
1 引言与结果
本文使用值分布理论的标准记号,并用σ(f)和(f)分别表示亚纯函数f(z)的增长级和型,定义[1-2]如下
如果f(z)是整函数,那么
用σ2(f)表示亚纯函数f(z)的超级,定义[3]如下
若f(z)是整函数,则还有
关于高阶线性微分方程
f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f=0,
(1)
当方程的系数Aj(j=0,1,…,k-1)为整函数时,方程(1)的每个解都是整函数.如果方程(1)的系数A0的增长级起控制作用即满足σ(A0)>max{σ(Aj),j=1,…,k-1},那么方程(1)的每个非零解f具有无穷级,即
定理A[4]假设A0,A1,…,Ak-1是整函数,满足条件max{σ(Aj),j=1,…,k-1}<σ(A0)<∞,那么方程(1)的每个非零解f满足σ2(f)=σ(A0).
当方程(1)的系数A0的增长级不是唯一的最大,但是A0的型起控制作用时,仍有相同的结论:
定理B[5]假设A0,A1,…,Ak-1为有限级整函数,A0(z)为超越整函数,满足条件:
(1)σ(A0)≥max{σ(Aj),j=1,…,k-1},
(2)当σ(Aj)=σ(A0)时,
(Aj)<(A0)<∞ (j=1,…,k-1),
那么方程(1)的每个非零解f满足σ2(f)=σ(A0).
本文的主要目的是将定理B作推广,由齐次推广到非齐次,考虑非齐次线性微分方程
f(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A0(z)f=F(z),
(2)
得到了下面的定理:
定理1 假设A0,A1,…,Ak-1,F(z)≢0为有限级整函数,A0(z)为超越整函数,满足条件:
(1)σ(A0)≥max{σ(Aj),j=1,…,k-1},
(2)如果σ(Aj)=σ(A0),有
(Aj)<(A0)≤∞ (j=1,…,k-1),
2 证明所需的引理
(3)
exp{-rα+ε}≤|f(z)|≤exp{rα+ε}.
(4)
引理3[8]假设Aj(j=0,1,…,k-1)是整函数,且满足max{σ(Aj),j=0,1,…,k-1}≤σ<+∞,那么方程(1)的所有解f满足σ2(f)≤σ.
引理4 设f(z)是超越整函数满足σ(f)=σ<∞,(f)=≤∞,那么对任意的β<,存在一个对数测度为无穷的集合H⊂[1,+∞),使得对所有的rH,有logM(r,f)>βrσ.
证明当(f)=<∞时,就是文献[5]中的引理5中迭代级p=1的情形.下面可用文献[5]中的类似方法证明当(f)==∞时引理也成立.