不等式约束秩亏网平差的算法研究*

谢 建 朱建军

(中南大学地球科学与信息物理学院，长沙 410083)

不等式约束秩亏网平差的算法研究*

谢 建 朱建军

(中南大学地球科学与信息物理学院，长沙 410083)

提出具有不等式约束的秩亏网平差模型，并设计了一种简单易行的算法。该算法将基准条件当作虚拟观测，基于库恩塔克条件，运用迭代的高斯消去法区分有效约束和无效约束，将不等式约束转化为等式约束的秩亏网平差问题求解。并以一个水准网的实例验证了算法的可行性与正确性。

不等式约束;秩亏;有效约束;虚拟观测法;水准网平差

1 引言

在变形监测、控制网优化设计、近景摄影测量等数据处理领域，当缺乏必要的起算数据时，会造成平差系统设计阵秩亏［1］。解决此类问题的方法有附加条件法，广义逆法，伪观测法，直接法，消去条件法及奇异值分解法［2-4］。在进行自由网平差时，有时需要对参数进行部分约束，例如在测角网与GPS网中固定一条基线的长度等，但这种约束条件数尚不足控制网的必要起始数据个数。文献［3］提出了解决这一问题的广义逆方法。文献［5-10］对等式约束秩亏网平差模型的计算方法进行了研究。

近年来，不等式约束的平差方法引起了国内外众多学者的关注，它能以相对模糊的方式来描述大地测量中的先验信息，改善平差结果，提高数据处理的精度，在GPS数据处理，变形分析，方差分量估计等领域中得到了成功的应用［11-14］。当秩亏自由网中存在一些可以用不等式约束来表达的先验信息，就形成了不等式约束条件下的自由网平差模型，本文主要研究这类平差问题的计算。首先将基准约束条件当作虚拟观测并入函数模型中，然后基于库恩塔克条件，运用迭代的高斯消去法自动区分有效约束和无效约束，将不等式约束的平差问题转化为等式约束的秩亏自由网平差求解，最后给出水准网平差的简单算例。

2 附不等式约束的秩亏自由网平差模型

带有不等式约束条件的秩亏自由网平差的函数模型和随机模型可分别表示为：

式(1)中，设计阵的秩R(A)=t＜u，秩亏数为d=u -t，σ2为单位权方差因子，Q、P分别为观测值的协方差矩阵和权矩阵。如果只考虑式(1)中的第一式，也就是无约束的秩亏网平差，为了达到消除秩亏的目的，使之在最小二乘最小范数意义下得到唯一的解，一般附加d个基准约束条件，

则可表示为：

模型(4)就是附有不等式约束的秩亏自由网平差的简化形式，它和普通的附不等式约束的平差模型在形式上是一致的。

3 不等式约束的秩亏自由网平差模型的计算方法

模型(4)等价于对如下形式平差模型求解：

由约束极值中的库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件知，在最优解处必须满足：

式(6)表明，当约束为有效约束时，即：cj()= Cj()-wj=0时，λj＞0;当约束为无效约束时，即：cj()=Cj()-wj＜0时，λj=0。我们的目的就是寻找有效约束得到最小二乘解。根据最优化理论，不等式约束中的有效约束在计算中等价于等式约束，而无效约束在计算中可以舍弃。我们把约束条件CX≤w换成CX=w，设计算法来区分有效约束和无效约束。

新的目标函数为：

按照拉格朗日乘子法求解式(7)，组成条件式：

在解式(11)时不能简单地直接求解。解该方程的目的是区分有效约束和无效约束，由分析可知，它的解只能大于等于零。现设计一种算法使解满足大于等于零的条件。

令：

式(11)可写成：

它的分量形式为：

其中i=1，2，…，p，d(i)是d的第i个分量，D(i，j)是矩阵D的第i行，第j列元素。

令λ0=(0，0，…，0)，k为迭代次数，对式(13)用

进行迭代计算得到λi，并用=max(0，λi)进行迭代，直到最后两次算得的λ相等为止。

将得到的λ值代入式(10)，可得：

4 实例计算

算例引自文献［9］，其中A、B、C、D点为待定点(图1)，观测高差及路线长度分别为：

图1 水准网示意图Fig.1 Sketch of the level network

水准网的基准条件的系数阵为：

同时，根据实际情况加入以下不等式约束条件：

令1 km的观测高差为单位权观测，则权阵为：

用高斯消去迭代法可得 λ=(0 0.206 3)T。由此可以发现第一个不等式约束条件为不起作用的约束，第二个不等式约束为起作用的约束。将λ代入式(15)，可求得平差值为

从而得到不等式约束下各点的高程平差值为：

在不考虑不等式约束条件CX≤w的情况下，求得的最小二乘估计为：

从而得到各点的高程平差值为：

从以上算例可以看出，本文提出的不等式约束秩亏自由网平差的算法是可行的。

5 结论

1)具有不等式约束的秩亏自由网平差模型，可以充分利用观测中的有效先验信息，提高了秩亏网平差的可靠性。

2)给出的不等式约束秩亏自由网平差的计算方法，是将基准约束条件当作虚拟观测并入函数模型中，然后基于库恩塔克条件，运用迭代高斯消去法自动区分有效约束和无效约束，将不等式约束的平差问题转化为等式约束的秩亏自由网平差求解。

1 崔希璋.广义逆矩阵与测量平差［M］.武汉：武汉大学出版社.2001.(Cui Xizhang.Generalized inverse matrix and adjustment［M］.Wuhan：Wuhan University Press.2001)

2 陶本藻.自由网平差与变形分析［M］.北京：测绘出版社，2001.(Tao Benzao.Free net adjustment and deformation analysis［M］.Beijing：Surveying Press，2001)

3 陶本藻，唐诗华，皮 新.具有约束的自由网平差及其应用［J］.测绘学报.1984，13(1)：60-68.(Tao Benzao，Tang Shihua and Pi Xin.Application of free net adjustment with conditions［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1984，13(1)：60-68)

4 鲁铁定，陶木藻，周世健.矩阵的SVD分解性质及其在秩亏网平差中的应用［J］.大地测量与地球动力学.2007，(5)：63-67.(Lu Tieding，Tao Benzao and Zhou Shijian.Characteristics of matrix SVD and its applications to rank deficiency free network adjustment［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2007，(5)：63-67)

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6 贺国宏.应用正交相似变换法讨论秩亏网平差中的几个问题［J］.武汉大学学报(信息科学版)，1985(2)：82-91.(He Guohong.Some problems of adjustments of a network with rank-defects discussed by means of orthogonal similar transformation method［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，1985(2)：82-91)

7 贺国宏.具有约束的自由网平差的进一步探讨［J］.长沙交通学院学报，1987，3(2)：69-78.(He Guohong.A further discussion of the free net adjustment with conditions［J］.Transaction of Changsha Communications College，1987，3(2)：69-78)

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10 谢建，朱建军.约束秩亏自由网平差的一种新算法［J］.测绘工程.2009(2)：9-11.(Xie Jian and Zhu Jianjun.A new approach to constrained rank-defective free network adjustment［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2009 (2)：9-11)

11 Remondi B W.Real-time centimeter-accuracy GPS：Initializing while in motion(Warm Start versus Cold Start)［J］.Journal of the Institute of Navigation，1993，40(2)： 199-208

12 Koch K R and Riesmeier K.Bayesian inference for the derivation of less sensitive hypothesis tests［J］.Bull Geod，1985，59：167-179.

13 Schaffrin B.Ausgleichung mit bedingungs-ungleichungen［J］.AVN，1981，88(6)：227-238.

14 朱建军，谢建.附有不等式约束平差的理论与方法研究［J］.测绘工程，2008，17(6)：1-5.(Zhu Jianjun and Xie Jian.Research on theory and methods of inequality constrained least squares［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2008，17(6)：1-5)

15 冯光财，朱建军.基于有效约束的附不等式约束平差的一种新算法［J］.测绘学报，2007，36(2)：119-123.(Feng Guangcai and Zhu Jianjun.A new approach to inequality constrained least-squares adjustment［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36(2)：119-123)

RESEARCH ON ALGORITHM OF INEQUALITY CONSTRAINED RANK DEFICIENT ADJUSTMENT

Xie Jian and Zhu Jianjun
(School of Geosciences and Info-physics，Central South University，Changsha 410083)

An inequality constrained rank deficient adjustment model is proposed and on its basis the algorithm which is simple and easy to implement is designed.In the algorithm the reference condition is treated as a virtual observation and by using iterative Gaussian elimination to distinguish active or inactive constraints based on Kuhn-Tucker condition，and then the inequality constrained model is transformed into equality constrained rank deficient adjustment model.In addition，an example of level network is given to prove the feasibility and correctness of this algorithm.

inequality constraints;rank deficient;active constraint;virtual observation method;level network adjustment

1671-5942(2011)06-0117-04

2011-06-01

国家自然科学基金(40574003，40974007);湖南省博士生科研创新项目(CX2010B048)

谢建，男，1984年生，博士，研究方向：测量平差与现代测量数据处理理论.E-mail：hsiejian841006@163.com

P207

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