G L（3，2）是 1 6 8阶不可解单群

孔亚峰

（1.曲阜师范大学 数学科学学院，山东 曲阜 273100；2.济宁学院，山东 曲阜 273100）

G L（3，2）是 1 6 8阶不可解单群

孔亚峰

（1.曲阜师范大学 数学科学学院，山东 曲阜 273100；2.济宁学院，山东 曲阜 273100）

为了更好的理解 GL（3，2）是 168 阶不可解单群，本文利用有限群论的有关知识，运用分类讨论的方法，给出了 GL（3，2）是 168 阶不可解单群一个新的证明.

有限群；单群；可解群

1 预备知识

我们用 K≥G表示 K为 G的正规子群，Gα表示α的稳定子群.所有群论术语及主要符号见文[1].

定义1 称有限群G为单群，如果G只有平凡正规子群.

定义2 如果G在Ω上只有一个轨道，即Ω本身，则称G在Ω上作用是传递的.

2 主要结果

定理 1(G L(3,2)是 1 6 8阶不可解单群.

证明 下面分四步证明：

(ⅰ)|G L(3,2)|=1 6 8.事实上，设 V为 Z2上的三维向量空间，G L(3,2)表示可逆线性变换的集合，基的个数为(23-1)(23-2)(23-22)=1 6 8，故 |G L(3,2)|=1 6 8.

(ⅱ)设 V*=V-1，令 G=G L(3,2),则 G在 V*上传递，即对任意的 α,β∈V*，存在 c∈G,使 ασ∈β.

(ⅲ)G L(3,2)不可解.反证法，设 G可解，N是 G的极小正规子群，则 N是 A b e l p-群，设 N=P1× P2× … Pm,由 N极 小 知 ，N=P为 p-群 ， 令 H=}，则 H c h a r N,存在H c h a r N≤G,H≤G,由 N的极小性知 H=N.G的极小正规子群 N是初等 A b e l p-群，这时 N在 V*上传递，事实上，V*=α1，α2，…，α7，Nαi表示 N中固定的元素 αi的集合，α1所在的轨道长为(N:Nαi).设 Nαi在 N中的陪集为为 α1所在的轨道，事实上彼此不等，若不然，若则矛盾，所以彼此不等，又，故对任意 g∈N，存在 gi使，任 意，存 在(3,2)，使，事实上，α1g∈， 同 理 可 证把 G L(3,2)分 成 等 长 的 若 干 个 轨 道 ， 由 于，若所以,因而 |N|=3或

（1）|N|=3，N是 G L(3,2)的正规子群，取 A=不正规 G，矛盾.

（2）|N|=2，N=〈a〉，任 意 g∈G=G L(3,2)，g-1a g∈N，所以 g-1a g=a，a∈Z(G)，G L(3,2)=1，矛盾.

（3）|N|=22=4，则 GG(N)的 S y l o w 2-子群可交换，盾.

（4）|N|=23=8，这 时 G=G L(3,2)的 S y l o w 2-子 群正规且是一个 A b l e群，取且 A B≠B A，矛盾，所以不成立，所以 N在 V*上传递，|N:Nα1|=7，故 7||N|，所以|N|=7，G=G L(3,2)的 S y l o w 7-子群正规，由上已证矛盾，因而得到G不可解.

(ⅳ)G=G L(3,2)为单群，若不单，则存在 N≠1，G◁G，|N||23×7×3，N可解，G/N可解，从而 G可解，矛盾.故 G=G L(3,2)为单群.

综上所述，G L(3,2)是 1 6 8阶不可解单群.

〔1〕徐明曜.有限群导引（上、下册）[M].北京：科学出版社，2001.

O 1 5 2.1

A

1673-260X（2011）05-0009-02